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2019 AMC 12B Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2019 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

La pirámide de base cuadrada ABCDEABCDE tiene base ABCD,ABCD, que mide 33 cm de lado, y altura AE‾\overline{AE} perpendicular a la base, que mide 66 cm. El punto PP está en BE‾,\overline{BE}, a un tercio del camino de BB a E;E; el punto QQ está en DE‾,\overline{DE}, a un tercio del camino de DD a E;E; y el punto RR está en CE‾,\overline{CE}, a dos tercios del camino de CC a E.E. ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de △PQR\triangle PQR?

Square pyramid ABCDEABCDE has base ABCD,ABCD, which measures 33 cm on a side, and altitude AE‾\overline{AE} perpendicular to the base, which measures 66 cm. Point PP lies on BE‾,\overline{BE}, one third of the way from BB to E;E; point QQ lies on DE‾,\overline{DE}, one third of the way from DD to E;E; and point RR lies on CE‾,\overline{CE}, two thirds of the way from CC to E.E. What is the area, in square centimeters, of △PQR?\triangle PQR?

322\dfrac{3\sqrt2}{2}

332\dfrac{3\sqrt3}{2}

222\sqrt2

232\sqrt3

323\sqrt2

Respuesta: C
Conceptos:Geometría 3Dvectorárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1620
Pista pequeña:

Pon A=(0,0,0)A=(0,0,0) con E=(0,0,6)E=(0,0,6) arriba de AA

Set A=(0,0,0)A=(0,0,0) with E=(0,0,6)E=(0,0,6) above AA

Pista grande:

Halla P,Q,R,P,Q,R, luego calcula 12∣PQ⃗×PR⃗∣\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|

Find P,Q,R,P,Q,R, then compute 12∣PQ⃗×PR⃗∣\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|

Solución:

Coloca A=(0,0,0),A=(0,0,0),  B=(3,0,0),\ B=(3,0,0),  C=(3,3,0),\ C=(3,3,0),  D=(0,3,0),\ D=(0,3,0),  E=(0,0,6).\ E=(0,0,6). Entonces P=(2,0,2),Q=(0,2,2),R=(1,1,4). \begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}

Así PQ⃗=(−2,2,0)\vec{PQ}=(-2,2,0) y PR⃗=(−1,1,2),\vec{PR}=(-1,1,2), dando PQ⃗×PR⃗=(4,4,0).\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).

El área es 12∣(4,4,0)∣=12⋅42=22.\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Place A=(0,0,0),A=(0,0,0),  B=(3,0,0),\ B=(3,0,0),  C=(3,3,0),\ C=(3,3,0),  D=(0,3,0),\ D=(0,3,0),  E=(0,0,6).\ E=(0,0,6). Then P=(2,0,2),Q=(0,2,2),R=(1,1,4). \begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}

So PQ⃗=(−2,2,0)\vec{PQ}=(-2,2,0) and PR⃗=(−1,1,2),\vec{PR}=(-1,1,2), giving PQ⃗×PR⃗=(4,4,0).\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).

The area is 12∣(4,4,0)∣=12⋅42=22.\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.

Thus, C is the correct answer.

Problema 17#17
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Problema 19#19

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