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2002 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2002 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Sean C1C_1 y C2C_2 los círculos definidos por (x−10)2+y2=36(x - 10)^2 + y^2 = 36 y (x+15)2+y2=81,(x + 15)^2 + y^2 = 81, respectivamente. ¿Cuál es la longitud del segmento de recta más corto PQ‾\overline{PQ} que es tangente a C1C_1 en PP y a C2C_2 en QQ?
Let C1C_1 and C2C_2 be circles defined by (x−10)2+y2=36(x - 10)^2 + y^2 = 36 and (x+15)2+y2=81,(x + 15)^2 + y^2 = 81, respectively. What is the length of the shortest line segment PQ‾\overline{PQ} that is tangent to C1C_1 at PP and to C2C_2 at Q?Q?
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2121
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Respuesta: C
Conceptos:recta tangentesemejanzaTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
El segmento más corto de este tipo es la tangente interior; cruza AB‾\overline{AB} entre los centros.
The shortest such segment is the internal tangent; it crosses AB‾\overline{AB} between the centers
Pista grande:
El punto de cruce divide AB‾\overline{AB} en la razón de los radios 6:9;6 : 9; use triángulos rectángulos semejantes.
The crossing point divides AB‾\overline{AB} in the ratio of the radii 6:9;6 : 9; use similar right triangles
Solución:
Los centros son A=(10,0)A = (10, 0) y B=(−15,0),B = (-15, 0), con radios 66 y 9,9, así que AB=25.AB = 25. La tangente más corta es la interior, que corta AB‾\overline{AB} en un punto DD que lo divide en la razón 6:9,6 : 9, dando D=(0,0).D = (0, 0).
Los triángulos rectángulos APDAPD y BQDBQD son semejantes con razón 2:3.2 : 3. Entonces PD=102−62=8PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 y QD=152−92=12,QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12, así que PQ=8+12=20.PQ = 8 + 12 = 20.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The centers are A=(10,0)A = (10, 0) and B=(−15,0),B = (-15, 0), with radii 66 and 9,9, so AB=25.AB = 25. The shortest tangent is the internal one, meeting AB‾\overline{AB} at a point DD that splits it in the ratio 6:9,6 : 9, giving D=(0,0).D = (0, 0).
The right triangles APDAPD and BQDBQD are similar with ratio 2:3.2 : 3. Then PD=102−62=8PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 and QD=152−92=12,QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12, so PQ=8+12=20.PQ = 8 + 12 = 20.
Thus, the correct answer is C.
Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

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