Question

Sean $C_1$ y $C_2$ los círculos definidos por $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ y $(x + 15)^2 + y^2 = 81,$ respectivamente. ¿Cuál es la longitud del segmento de recta más corto $\overline{PQ}$ que es tangente a $C_1$ en $P$ y a $C_2$ en $Q$ ?

Let $C_1$ and $C_2$ be circles defined by $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ and $(x + 15)^2 + y^2 = 81,$ respectively. What is the length of the shortest line segment $\overline{PQ}$ that is tangent to $C_1$ at $P$ and to $C_2$ at $Q?$

$15$

$18$

$20$

$21$

$24$

Solución:

Los centros son $A = (10, 0)$ y $B = (-15, 0),$ con radios $6$ y $9,$ así que $AB = 25.$ La tangente más corta es la interior, que corta $\overline{AB}$ en un punto $D$ que lo divide en la razón $6 : 9,$ dando $D = (0, 0).$

Los triángulos rectángulos $APD$ y $BQD$ son semejantes con razón $2 : 3.$ Entonces $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ y $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,$ así que $PQ = 8 + 12 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers are $A = (10, 0)$ and $B = (-15, 0),$ with radii $6$ and $9,$ so $AB = 25.$ The shortest tangent is the internal one, meeting $\overline{AB}$ at a point $D$ that splits it in the ratio $6 : 9,$ giving $D = (0, 0).$

The right triangles $APD$ and $BQD$ are similar with ratio $2 : 3.$ Then $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ and $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,$ so $PQ = 8 + 12 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años