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2021 AMC 12B Fall Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Sea u0=14,u_0 = \dfrac{1}{4}, y para k≥0k \ge 0 sea uk+1u_{k+1} determinado por la recurrencia uk+1=2uk−2uk2.u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2. Esta sucesión tiende a un límite; llámalo L.L. ¿Cuál es el menor valor de kk tal que ∣uk−L∣≤121000?|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?
Set u0=14,u_0 = \dfrac{1}{4}, and for k≥0k \ge 0 let uk+1u_{k+1} be determined by the recurrence uk+1=2uk−2uk2.u_{k+1} = 2u_k - 2u_k^2. This sequence tends to a limit; call it L.L. What is the least value of kk such that ∣uk−L∣≤121000?|u_k - L| \le \dfrac{1}{2^{1000}}?
1010
8787
123123
329329
401401
Respuesta: A
Conceptos:recursiónsustitución
Nivel de dificultad: 2230
Pista pequeña:
El límite es L=12L = \tfrac12; sustituye vk=1−2ukv_k = 1 - 2u_k.
The limit is L=12L = \tfrac12; substitute vk=1−2ukv_k = 1 - 2u_k
Pista grande:
La sustitución da vk+1=vk2,v_{k+1} = v_k^2, así que vkv_k se eleva al cuadrado repetidamente.
The substitution gives vk+1=vk2,v_{k+1} = v_k^2, so vkv_k squares repeatedly
Solución:
El límite satisface L=2L−2L2,L = 2L - 2L^2, lo que da L=12.L = \tfrac12. Sea vk=1−2uk.v_k = 1 - 2u_k. Entonces vk+1=1−2uk+1=1−4uk+4uk2=(1−2uk)2=vk2. \begin{aligned} v_{k+1} &= 1 - 2u_{k+1} \\ &= 1 - 4u_k + 4u_k^2 \\ &= (1 - 2u_k)^2 = v_k^2. \end{aligned}
Como v0=1−2⋅14=12,v_0 = 1 - 2 \cdot \tfrac14 = \tfrac12, obtenemos vk=(12)2k,v_k = \left(\tfrac12\right)^{2^k}, así que ∣uk−L∣=∣vk∣2=2−2k−1.|u_k - L| = \dfrac{|v_k|}{2} = 2^{-2^k - 1}.
Necesitamos 2k+1≥1000,2^k + 1 \ge 1000, es decir 2k≥999.2^k \ge 999. El menor kk tal es 10,10, ya que 210=1024.2^{10} = 1024.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The limit satisfies L=2L−2L2,L = 2L - 2L^2, giving L=12.L = \tfrac12. Let vk=1−2uk.v_k = 1 - 2u_k. Then vk+1=1−2uk+1=1−4uk+4uk2=(1−2uk)2=vk2. \begin{aligned} v_{k+1} &= 1 - 2u_{k+1} \\ &= 1 - 4u_k + 4u_k^2 \\ &= (1 - 2u_k)^2 = v_k^2. \end{aligned}
Since v0=1−2⋅14=12,v_0 = 1 - 2 \cdot \tfrac14 = \tfrac12, we get vk=(12)2k,v_k = \left(\tfrac12\right)^{2^k}, so ∣uk−L∣=∣vk∣2=2−2k−1.|u_k - L| = \dfrac{|v_k|}{2} = 2^{-2^k - 1}.
We need 2k+1≥1000,2^k + 1 \ge 1000, i.e. 2k≥999.2^k \ge 999. The least such kk is 10,10, since 210=1024.2^{10} = 1024.
Thus, the correct answer is A.
Problema 17#17
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