Question

Sea $n$ un número de $5$ cifras, y sean $q$ y $r$ el cociente y el residuo, respectivamente, cuando $n$ se divide entre $100.$ ¿Para cuántos valores de $n$ es $q + r$ divisible entre $11$ ?

Let $n$ be a $5$ -digit number, and let $q$ and $r$ be the quotient and remainder, respectively, when $n$ is divided by $100.$ For how many values of $n$ is $q + r$ divisible by $11?$

$8180$

$8181$

$8182$

$9000$

$9090$

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular múltiplo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Observa que $n=100q+r=(q+r)+99q$ .

$n=100q+r=(q+r)+99q$

Pista grande:

Como $99$ es múltiplo de $11,$ $q+r\equiv n\pmod{11}$ .

Since $99$ is a multiple of $11,$ $q+r\equiv n\pmod{11}$

Solución:

Como $n=100q+r=(q+r)+99q$ y $99$ es divisible entre $11,$ tenemos $q+r\equiv n\pmod{11}.$

Así que $(q+r)$ es múltiplo de $11$ exactamente cuando $n$ es múltiplo de $11.$

Entre los números de $5$ cifras, la cantidad de múltiplos de $11$ es $\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor$ $=9090-909=8181.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $n=100q+r=(q+r)+99q$ and $99$ is divisible by $11,$ we have $q+r\equiv n\pmod{11}.$

So $(q+r)$ is a multiple of $11$ exactly when $n$ is a multiple of $11.$

Among the $5$ -digit numbers, the count of multiples of $11$ is $\left\lfloor\dfrac{99999}{11}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\dfrac{9999}{11}\right\rfloor$ $=9090-909=8181.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años