Question

Sea $S(n)$ igual a la suma de los dígitos del entero positivo $n.$ Por ejemplo, $S(1507)=13.$ Para cierto entero positivo $n,$ $S(n)=1274.$ ¿Cuál de los siguientes podría ser el valor de $S(n+1)$ ?

Let $S(n)$ equal the sum of the digits of positive integer $n.$ For example, $S(1507)=13.$ For a particular positive integer $n,$ $S(n)=1274.$ Which of the following could be the value of $S(n+1)?$

$1$

$3$

$12$

$1239$

$1265$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si $n$ termina en exactamente $k$ nueves, sumar $1$ reduce la suma de dígitos en $9k$ y añade $1$

If $n$ ends in exactly $k$ nines, adding $1$ drops the digit sum by $9k$ and adds $1$

Pista grande:

Así que $S(n+1)=1275-9k;$ revisa qué opción tiene esta forma

So $S(n+1)=1275-9k;$ check which choice has this form

Solución:

Sumar $1$ a $n$ aumenta la suma de dígitos en $1,$ salvo que cada $9$ al final se convierte en un $0,$ perdiendo $9.$ Si $n$ termina en exactamente $k$ nueves, entonces $S(n+1)=S(n)+1-9k$ $=1275-9k.$

Así que los valores posibles son $1275,1266,1257,\ldots$ Entre las opciones, solo $1239=1275-9\cdot4$ encaja (por ejemplo, $n$ terminando en cuatro $9$ precedidos de suficientes $1$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding $1$ to $n$ increases the digit sum by $1,$ except that each trailing $9$ turns into a $0,$ losing $9.$ If $n$ ends in exactly $k$ nines, then $S(n+1)=S(n)+1-9k$ $=1275-9k.$

So the possible values are $1275,1266,1257,\ldots$ Among the choices, only $1239=1275-9\cdot4$ fits (for example, $n$ ending in four $9$ s preceded by enough $1$ s).

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años