Soluciones del 2017 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Pablo compra paletas heladas para sus amigos. La tienda vende paletas sueltas a $\$1$ cada una, cajas de $3$ paletas a $\$2,$ y cajas de $5$ paletas a $\$3.$ ¿Cuál es el mayor número de paletas que Pablo puede comprar con $\$8$ ?

Pablo buys popsicles for his friends. The store sells single popsicles for $\$1$ each, $3$ -popsicle boxes for $\$2,$ and $5$ -popsicle boxes for $\$3.$ What is the greatest number of popsicles that Pablo can buy with $\$8?$

$8$

$11$

$12$

$13$

$15$

Conceptos:optimización tasa

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Las paletas más baratas provienen de la caja de $5$ paletas, a $\dfrac{\$3}{5}=\$0.60$ cada una. Incluso a ese precio, $14$ paletas costarían $14\cdot\$0.60=\$8.40,$ más que $\$8.$

Así que Pablo puede comprar a lo sumo $13,$ y lo logra con dos cajas de $5$ por $\$6$ y una caja de $3$ por $\$2,$ obteniendo $2\cdot5+3=13$ paletas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The cheapest popsicles come from the $5$ -popsicle box, at $\dfrac{\$3}{5}=\$0.60$ each. Even at that rate, $14$ popsicles would cost $14\cdot\$0.60=\$8.40,$ more than $\$8.$

So Pablo can buy at most $13,$ and he achieves this with two $5$ -boxes for $\$6$ and one $3$ -box for $\$2,$ giving $2\cdot5+3=13$ popsicles.

Thus, the correct answer is D.

2.

La suma de dos números reales no nulos es $4$ veces su producto. ¿Cuál es la suma de los recíprocos de los dos números?

The sum of two nonzero real numbers is $4$ times their product. What is the sum of the reciprocals of the two numbers?

$1$

$2$

$4$

$8$

$12$

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Sean los números $x$ y $y,$ de modo que $x+y=4xy.$

Dividiendo ambos lados entre $xy$ se obtiene $\dfrac{x+y}{xy}=4,$ y el lado izquierdo es exactamente $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}.$ Así que la suma de los recíprocos es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the numbers be $x$ and $y,$ so $x+y=4xy.$

Dividing both sides by $xy$ gives $\dfrac{x+y}{xy}=4,$ and the left side is exactly $\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}.$ So the sum of the reciprocals is $4.$

Thus, the correct answer is C.

3.

La Sra. Carroll prometió que quien respondiera bien todas las preguntas de opción múltiple en el próximo examen recibiría una A en el examen. ¿Cuál de estas afirmaciones se sigue necesariamente por lógica?

Ms. Carroll promised that anyone who got all the multiple choice questions right on the upcoming exam would receive an A on the exam. Which one of these statements necessarily follows logically?

Si Lewis no recibió una A, entonces respondió mal todas las preguntas de opción múltiple.

If Lewis did not receive an A, then he got all of the multiple choice questions wrong.

Si Lewis no recibió una A, entonces respondió mal al menos una de las preguntas de opción múltiple.

If Lewis did not receive an A, then he got at least one of the multiple choice questions wrong.

Si Lewis respondió mal al menos una de las preguntas de opción múltiple, entonces no recibió una A.

If Lewis got at least one of the multiple choice questions wrong, then he did not receive an A.

Si Lewis recibió una A, entonces respondió bien todas las preguntas de opción múltiple.

If Lewis received an A, then he got all of the multiple choice questions right.

Si Lewis recibió una A, entonces respondió bien al menos una de las preguntas de opción múltiple.

If Lewis received an A, then he got at least one of the multiple choice questions right.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

La promesa es «todas bien $\Rightarrow$ A». Una implicación solo es equivalente a su contrarrecíproca: «no A $\Rightarrow$ no todas bien».

«No todas bien» significa que al menos una pregunta estuvo mal, que es exactamente la afirmación B. La recíproca y la inversa no se siguen, y «todas mal» es una afirmación mucho más fuerte que la negación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The promise is "all right $\Rightarrow$ A." An implication is equivalent only to its contrapositive: "not A $\Rightarrow$ not all right."

"Not all right" means at least one question was wrong, which is exactly statement B. The converse and inverse do not follow, and getting "all wrong" is a much stronger claim than the negation.

Thus, the correct answer is B.

4.

Jerry y Silvia querían ir desde la esquina suroeste de un campo cuadrado hasta la esquina noreste. Jerry caminó hacia el este y luego hacia el norte para llegar a la meta, pero Silvia se dirigió al noreste y llegó a la meta caminando en línea recta. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a cuánto más corto fue el trayecto de Silvia, en comparación con el de Jerry?

Jerry and Silvia wanted to go from the southwest corner of a square field to the northeast corner. Jerry walked due east and then due north to reach the goal, but Silvia headed northeast and reached the goal walking in a straight line. Which of the following is closest to how much shorter Silvia's trip was, compared to Jerry's trip?

$30\%$

$40\%$

$50\%$

$60\%$

$70\%$

Conceptos:Teorema de Pitágoras porcentaje

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Si el cuadrado tiene lado $x,$ Jerry camina $x+x=2x,$ mientras que Silvia camina la diagonal $\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2.$

La fracción en que el trayecto de Silvia es más corto es $\begin{aligned} &\dfrac{2x-x\sqrt2}{2x}=1-\dfrac{\sqrt2}{2} \\ &\approx 1-0.707=0.293. \end{aligned}$

Esto es lo más cercano a $30\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the square has side $x,$ Jerry walks $x+x=2x,$ while Silvia walks the diagonal $\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2.$

The fraction by which Silvia's trip is shorter is $\begin{aligned} &\dfrac{2x-x\sqrt2}{2x}=1-\dfrac{\sqrt2}{2} \\ &\approx 1-0.707=0.293. \end{aligned}$

This is closest to $30\%.$

Thus, the correct answer is A.

5.

En una reunión de $30$ personas, hay $20$ personas que se conocen todas entre sí y $10$ personas que no conocen a nadie. Las personas que se conocen se abrazan, y las que no se conocen se dan la mano. ¿Cuántos apretones de manos ocurren?

At a gathering of $30$ people, there are $20$ people who all know each other and $10$ people who know no one. People who know each other hug, and people who do not know each other shake hands. How many handshakes occur?

$240$

$245$

$290$

$480$

$490$

Conceptos:teoría de grafos conteo básico

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Cada una de las $20$ personas que se conocen da la mano solo a los $10$ desconocidos. Cada uno de los $10$ desconocidos da la mano a las otras $29$ personas.

Sumando los apretones de manos y dividiendo entre $2$ (cada apretón involucra a dos personas) se obtiene $\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}(20\cdot10+10\cdot29) \\ &=\dfrac{1}{2}(200+290)=245. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of the $20$ people who know each other shakes hands with only the $10$ strangers. Each of the $10$ strangers shakes hands with all $29$ other people.

Summing handshake counts and dividing by $2$ (each handshake involves two people) gives $\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}(20\cdot10+10\cdot29) \\ &=\dfrac{1}{2}(200+290)=245. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

6.

Joy tiene $30$ varillas delgadas, una de cada longitud entera desde $1$ cm hasta $30$ cm. Coloca sobre una mesa las varillas de longitudes $3$ cm, $7$ cm y $15$ cm. Luego quiere elegir una cuarta varilla que pueda poner junto con estas tres para formar un cuadrilátero de área positiva. ¿Cuántas de las varillas restantes puede elegir como cuarta varilla?

Joy has $30$ thin rods, one each of every integer length from $1$ cm through $30$ cm. She places the rods with lengths $3$ cm, $7$ cm, and $15$ cm on a table. She then wants to choose a fourth rod that she can put with these three to form a quadrilateral with positive area. How many of the remaining rods can she choose as the fourth rod?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:desigualdad triangular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Cuatro longitudes forman un cuadrilátero de área positiva si y solo si la más larga es estrictamente menor que la suma de las otras tres. Con una cuarta varilla de longitud $n,$ esto requiere $15\lt 3+7+n$ y $n\lt 3+7+15,$ así que $5\lt n\lt 25.$

Los enteros de $6$ a $24$ dan $19$ valores, pero las varillas de longitud $7$ y $15$ ya están en la mesa, dejando $19-2=17$ opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Four lengths form a quadrilateral with positive area if and only if the longest is strictly less than the sum of the other three. With a fourth rod of length $n,$ this requires $15\lt 3+7+n$ and $n\lt 3+7+15,$ so $5\lt n\lt 25.$

The integers from $6$ to $24$ give $19$ values, but the rods of length $7$ and $15$ are already on the table, leaving $19-2=17$ choices.

Thus, the correct answer is B.

7.

Define una función en los enteros positivos de manera recursiva por $f(1)=2,$ $f(n)=f(n-1)+1$ si $n$ es par, y $f(n)=f(n-2)+2$ si $n$ es impar y mayor que $1.$ ¿Cuánto vale $f(2017)$ ?

Define a function on the positive integers recursively by $f(1)=2,$ $f(n)=f(n-1)+1$ if $n$ is even, and $f(n)=f(n-2)+2$ if $n$ is odd and greater than $1.$ What is $f(2017)?$

$2017$

$2018$

$4034$

$4035$

$4036$

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

Listando valores: $f(1)=2,$ $f(2)=f(1)+1=3,$ $f(3)=f(1)+2=4,$ $f(4)=f(3)+1=5,$ lo que sugiere $f(n)=n+1.$

Ambas reglas son consistentes con $f(n)=n+1:$ para $n$ par, $(n-1)+1+1=n+1,$ y para $n$ impar, $(n-2)+1+2=n+1.$ Como la recursión determina $f$ de manera única, $f(2017)=2018.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Listing values: $f(1)=2,$ $f(2)=f(1)+1=3,$ $f(3)=f(1)+2=4,$ $f(4)=f(3)+1=5,$ suggesting $f(n)=n+1.$

Both rules are consistent with $f(n)=n+1:$ for even $n,$ $(n-1)+1+1=n+1,$ and for odd $n,$ $(n-2)+1+2=n+1.$ Since the recursion determines $f$ uniquely, $f(2017)=2018.$

Thus, the correct answer is B.

8.

La región formada por todos los puntos del espacio tridimensional que están a no más de $3$ unidades del segmento $AB$ tiene volumen $216\pi.$ ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

The region consisting of all points in three-dimensional space within $3$ units of line segment $AB$ has volume $216\pi.$ What is the length $AB?$

$6$

$12$

$18$

$20$

$24$

Conceptos:cilindro esfera volumen

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Sea $h=AB.$ La región es un cilindro de radio $3$ y altura $h$ con un hemisferio de radio $3$ en cada extremo.

El cilindro tiene volumen $\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h,$ y los dos hemisferios juntos forman una esfera de volumen $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.$ Así que $9\pi h+36\pi=216\pi,$ de donde $h=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $h=AB.$ The region is a cylinder of radius $3$ and height $h$ with a hemisphere of radius $3$ on each end.

The cylinder has volume $\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h,$ and the two hemispheres together form a sphere of volume $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.$ So $9\pi h+36\pi=216\pi,$ giving $h=20.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Sea $S$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano de coordenadas tales que dos de las tres cantidades $3,$ $x+2,$ y $y-4$ son iguales y la tercera de las tres cantidades no es mayor que este valor común. ¿Cuál de las siguientes es una descripción correcta de $S$ ?

Let $S$ be the set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that two of the three quantities $3,$ $x+2,$ and $y-4$ are equal and the third of the three quantities is no greater than this common value. Which of the following is a correct description of $S?$

un solo punto

a single point

dos rectas que se cortan

two intersecting lines

tres rectas cuyas intersecciones por pares son tres puntos distintos

three lines whose pairwise intersections are three distinct points

un triángulo

a triangle

tres rayos con un extremo común

three rays with a common endpoint

Conceptos:geometría analítica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Considera cuáles dos de $3,$ $x+2,$ $y-4$ son el par mayor (iguales).

Si $3=x+2\ge y-4:$ entonces $x=1$ y $y\le7,$ un rayo hacia abajo desde $(1,7).$ Si $3=y-4\ge x+2:$ entonces $y=7$ y $x\le1,$ un rayo hacia la izquierda desde $(1,7).$ Si $x+2=y-4\ge3:$ entonces $y=x+6$ y $x\ge1,$ un rayo desde $(1,7)$ que va hacia arriba y a la derecha.

Los tres rayos comparten el extremo $(1,7),$ así que $S$ son tres rayos con un extremo común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Consider which two of $3,$ $x+2,$ $y-4$ are the (equal) larger pair.

If $3=x+2\ge y-4:$ then $x=1$ and $y\le7,$ a downward ray from $(1,7).$ If $3=y-4\ge x+2:$ then $y=7$ and $x\le1,$ a leftward ray from $(1,7).$ If $x+2=y-4\ge3:$ then $y=x+6$ and $x\ge1,$ a ray from $(1,7)$ going up and to the right.

All three rays share the endpoint $(1,7),$ so $S$ is three rays with a common endpoint.

Thus, the correct answer is E.

10.

Chloé elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo $[0,2017].$ De forma independiente, Laurent elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo $[0,4034].$ ¿Cuál es la probabilidad de que el número de Laurent sea mayor que el de Chloé?

Chloé chooses a real number uniformly at random from the interval $[0,2017].$ Independently, Laurent chooses a real number uniformly at random from the interval $[0,4034].$ What is the probability that Laurent's number is greater than Chloé's number?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{7}{8}$

Conceptos:probabilidad geométrica simetría probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Con probabilidad $\dfrac{1}{2},$ el número de Laurent cae en $[2017,4034],$ que supera cualquier número que Chloé pudiera elegir, así que gana con certeza.

Con la otra probabilidad $\dfrac{1}{2},$ el número de Laurent cae en $[0,2017],$ que coincide con el intervalo de Chloé; por simetría es mayor la mitad de las veces. La probabilidad total es $\dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With probability $\dfrac{1}{2},$ Laurent's number lies in $[2017,4034],$ which exceeds any number Chloé could choose, so he wins for certain.

With the other probability $\dfrac{1}{2},$ Laurent's number lies in $[0,2017],$ matching Chloé's interval; by symmetry he is larger half the time. The total probability is $\dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Claire suma las medidas en grados de los ángulos interiores de un polígono convexo y llega a una suma de $2017.$ Luego descubre que olvidó incluir un ángulo. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo olvidado?

Claire adds the degree measures of the interior angles of a convex polygon and arrives at a sum of $2017.$ She then discovers that she forgot to include one angle. What is the degree measure of the forgotten angle?

$37$

$63$

$117$

$143$

$163$

Conceptos:suma de ángulos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

Si el polígono tiene $n$ lados y el ángulo olvidado es $\alpha,$ entonces $(n-2)180=2017+\alpha.$ Como $0\lt\alpha\lt180,$ $2017\lt(n-2)180\lt2197.$

El único múltiplo de $180$ en este rango es $2160=(14-2)180,$ así que $n=14$ y $\alpha=2160-2017=143.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the polygon has $n$ sides and the forgotten angle is $\alpha,$ then $(n-2)180=2017+\alpha.$ Since $0\lt\alpha\lt180,$ $2017\lt(n-2)180\lt2197.$

The only multiple of $180$ in this range is $2160=(14-2)180,$ so $n=14$ and $\alpha=2160-2017=143.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Hay $10$ caballos, llamados Horse $1,$ Horse $2,$ $\ldots,$ Horse $10.$ Reciben sus nombres por cuántos minutos les toma dar una vuelta a una pista de carreras circular: Horse $k$ da una vuelta en exactamente $k$ minutos. En el instante $0$ todos los caballos están juntos en el punto de partida de la pista. Los caballos empiezan a correr en la misma dirección, y siguen corriendo alrededor de la pista circular a sus velocidades constantes. El menor tiempo $S\gt0,$ en minutos, en el que los $10$ caballos vuelvan a estar simultáneamente en el punto de partida es $S=2520.$ Sea $T\gt0$ el menor tiempo, en minutos, tal que al menos $5$ de los caballos estén de nuevo en el punto de partida. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $T$ ?

There are $10$ horses, named Horse $1,$ Horse $2,$ $\ldots,$ Horse $10.$ They get their names from how many minutes it takes them to run one lap around a circular race track: Horse $k$ runs one lap in exactly $k$ minutes. At time $0$ all the horses are together at the starting point on the track. The horses start running in the same direction, and they keep running around the circular track at their constant speeds. The least time $S\gt0,$ in minutes, at which all $10$ horses will again simultaneously be at the starting point is $S=2520.$ Let $T\gt0$ be the least time, in minutes, such that at least $5$ of the horses are again at the starting point. What is the sum of the digits of $T?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:mínimo común múltiplo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Horse $k$ está en el punto de partida en el instante $t$ precisamente cuando $k\mid t.$ Así que buscamos el menor $t$ con al menos $5$ divisores entre $1,2,\ldots,10.$

Revisando valores pequeños, $t=12$ es divisible entre $1,2,3,4,$ y $6,$ lo que da exactamente $5$ caballos así, y ningún $t$ menor alcanza $5.$ Por lo tanto $T=12,$ y la suma de sus dígitos es $1+2=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Horse $k$ is at the starting point at time $t$ precisely when $k\mid t.$ So we want the smallest $t$ with at least $5$ divisors among $1,2,\ldots,10.$

Checking small values, $t=12$ is divisible by $1,2,3,4,$ and $6,$ giving exactly $5$ such horses, and no smaller $t$ reaches $5.$ Thus $T=12,$ and the sum of its digits is $1+2=3.$

Thus, the correct answer is B.

13.

Conduciendo a velocidad constante, Sharon normalmente tarda $180$ minutos en conducir desde su casa hasta la casa de su madre. Un día Sharon comienza el trayecto a su velocidad habitual, pero después de conducir $\dfrac{1}{3}$ del camino, se topa con una fuerte tormenta de nieve y reduce su velocidad en $20$ millas por hora. Esta vez el viaje le toma un total de $276$ minutos. ¿Cuántas millas hay en el trayecto desde la casa de Sharon hasta la de su madre?

Driving at a constant speed, Sharon usually takes $180$ minutes to drive from her house to her mother's house. One day Sharon begins the drive at her usual speed, but after driving $\dfrac{1}{3}$ of the way, she hits a bad snowstorm and reduces her speed by $20$ miles per hour. This time the trip takes her a total of $276$ minutes. How many miles is the drive from Sharon's house to her mother's house?

$132$

$135$

$138$

$141$

$144$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Sea la distancia $d$ millas y la velocidad habitual $r$ mph. Como el trayecto habitual es de $3$ horas, $d=3r.$

El primer $\dfrac{1}{3}$ del trayecto toma $\dfrac{1}{3}\cdot180=60$ minutos a velocidad $r,$ así que los $\dfrac{2}{3}$ restantes toman $276-60=216$ minutos $=\dfrac{18}{5}$ horas a velocidad $r-20.$

Esa parte final cubre $\dfrac{2}{3}d=2r$ millas, así que $2r=(r-20)\cdot\dfrac{18}{5}.$ Al resolver se obtiene $10r=18r-360,$ de donde $r=45$ y $d=3\cdot45=135.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the distance be $d$ miles and the usual speed $r$ mph. Since the usual trip is $3$ hours, $d=3r.$

The first $\dfrac{1}{3}$ of the drive takes $\dfrac{1}{3}\cdot180=60$ minutes at speed $r,$ so the remaining $\dfrac{2}{3}$ takes $276-60=216$ minutes $=\dfrac{18}{5}$ hours at speed $r-20.$

That final portion covers $\dfrac{2}{3}d=2r$ miles, so $2r=(r-20)\cdot\dfrac{18}{5}.$ Solving gives $10r=18r-360,$ so $r=45$ and $d=3\cdot45=135.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Alice se niega a sentarse junto a Bob o a Carla. Derek se niega a sentarse junto a Eric. ¿De cuántas maneras pueden los cinco sentarse en una fila de $5$ sillas bajo estas condiciones?

Alice refuses to sit next to either Bob or Carla. Derek refuses to sit next to Eric. How many ways are there for the five of them to sit in a row of $5$ chairs under these conditions?

$12$

$16$

$28$

$32$

$40$

Conceptos:arreglos con restricciones inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Sean $X,$ $Y,$ $Z$ las formas de sentarse donde Alice-Bob, Alice-Carla y Derek-Eric están adyacentes, respectivamente. La respuesta es $5!-|X\cup Y\cup Z|.$

Por inclusión-exclusión, $|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3)$ $-(12+24+24)$ $+8=92,$ así que la respuesta es $120-92=28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $X,$ $Y,$ $Z$ be the seatings where Alice-Bob, Alice-Carla, and Derek-Eric are adjacent, respectively. The answer is $5!-|X\cup Y\cup Z|.$

By inclusion-exclusion, $|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3)$ $-(12+24+24)$ $+8=92,$ so the answer is $120-92=28.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Sea $f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x,$ usando la medida en radianes para la variable $x.$ ¿En qué intervalo se encuentra el menor valor positivo de $x$ para el cual $f(x)=0$ ?

Let $f(x)=\sin x+2\cos x+3\tan x,$ using radian measure for the variable $x.$ In what interval does the smallest positive value of $x$ for which $f(x)=0$ lie?

$(0,1)$

$(1,2)$

$(2,3)$

$(3,4)$

$(4,5)$

Conceptos:trigonometría

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Para $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ los tres términos son positivos, así que $f(x)\gt0.$ Para $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi,$ $\tan x$ es negativo y domina, manteniendo $f(x)\lt0.$ Así que no hay raíz antes de $x=\pi.$

En $x=\pi,$ $f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0.$ En $x=\dfrac{5\pi}{4},$ $\tan x=1$ así que $f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0.$ Por el teorema del valor intermedio la menor raíz positiva está en $\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).$

Como $\pi\gt3$ y $\dfrac{5\pi}{4}\lt4,$ este intervalo está dentro de $(3,4).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ all three terms are positive, so $f(x)\gt0.$ For $\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\pi,$ $\tan x$ is negative and dominates, keeping $f(x)\lt0.$ So no root occurs before $x=\pi.$

At $x=\pi,$ $f(\pi)=0+2(-1)+0=-2\lt0.$ At $x=\dfrac{5\pi}{4},$ $\tan x=1$ so $f=-\dfrac{\sqrt2}{2}+3\gt0.$ By the intermediate value theorem the smallest positive root lies in $\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right).$

Since $\pi\gt3$ and $\dfrac{5\pi}{4}\lt4,$ this interval sits inside $(3,4).$

Thus, the correct answer is D.

16.

En la figura de abajo, se dibujan semicírculos con centros en $A$ y $B$ y con radios $2$ y $1,$ respectivamente, en el interior de, y compartiendo bases con, un semicírculo de diámetro $\overline{JK}.$ Los dos semicírculos más pequeños son tangentes externamente entre sí y tangentes internamente al semicírculo más grande. Se dibuja un círculo con centro en $P$ tangente externamente a los dos semicírculos pequeños y tangente internamente al semicírculo más grande. ¿Cuál es el radio del círculo con centro en $P$ ?

In the figure below, semicircles with centers at $A$ and $B$ and with radii $2$ and $1,$ respectively, are drawn in the interior of, and sharing bases with, a semicircle with diameter $\overline{JK}.$ The two smaller semicircles are externally tangent to each other and internally tangent to the largest semicircle. A circle centered at $P$ is drawn externally tangent to the two smaller semicircles and internally tangent to the largest semicircle. What is the radius of the circle centered at $P?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{6}{7}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt3$

$\dfrac{5}{8}\sqrt2$

$\dfrac{11}{12}$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras geometría analítica

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

El semicírculo grande tiene radio $3$ y centro $C,$ el punto medio de $\overline{JK}.$ Colocando $J$ en el origen, $A=2,$ $B=5,$ $C=3,$ $K=6$ a lo largo de la base. Sea $r$ el radio del círculo en $P.$

Por tangencia, $PA=2+r,$ $PB=1+r,$ y $PC=3-r.$ Trazando una perpendicular desde $P$ a la base en la posición horizontal $3+x$ con altura $h,$ el teorema de Pitágoras da $\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}$

Estas se reducen a dos ecuaciones lineales en $r$ y $x,$ cuya solución es $r=\dfrac{6}{7}$ (y $x=\dfrac{9}{7}$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The large semicircle has radius $3$ and center $C,$ the midpoint of $\overline{JK}.$ Placing $J$ at the origin, $A=2,$ $B=5,$ $C=3,$ $K=6$ along the base. Let $r$ be the radius of the circle at $P.$

By tangency, $PA=2+r,$ $PB=1+r,$ and $PC=3-r.$ Dropping a perpendicular from $P$ to the base at horizontal position $3+x$ with height $h,$ the Pythagorean theorem gives $\begin{aligned} h^2 &=(2+r)^2-(1+x)^2 \\ &=(3-r)^2-x^2 \\ &=(1+r)^2-(2-x)^2. \end{aligned}$

These reduce to two linear equations in $r$ and $x,$ whose solution is $r=\dfrac{6}{7}$ (and $x=\dfrac{9}{7}$ ).

Thus, the correct answer is B.

17.

Hay $24$ números complejos diferentes $z$ tales que $z^{24}=1.$ ¿Para cuántos de ellos $z^6$ es un número real?

There are $24$ different complex numbers $z$ such that $z^{24}=1.$ For how many of these is $z^6$ a real number?

$0$

$4$

$6$

$12$

$24$

Conceptos:raíces de la unidad número complejo

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Las $24$ soluciones son las raíces $24$ -ésimas de la unidad, $z=e^{\pi i k/12}$ para $k=0,1,\ldots,23.$

Entonces $z^6=e^{\pi i k/2}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},$ que es real exactamente cuando $\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,$ es decir, cuando $k$ es par. Hay $12$ valores pares de $k$ en el rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $24$ solutions are the $24$ th roots of unity, $z=e^{\pi i k/12}$ for $k=0,1,\ldots,23.$

Then $z^6=e^{\pi i k/2}=\cos\dfrac{k\pi}{2}+i\sin\dfrac{k\pi}{2},$ which is real exactly when $\sin\dfrac{k\pi}{2}=0,$ i.e. when $k$ is even. There are $12$ even values of $k$ in the range.

Thus, the correct answer is D.

18.

Sea $S(n)$ igual a la suma de los dígitos del entero positivo $n.$ Por ejemplo, $S(1507)=13.$ Para cierto entero positivo $n,$ $S(n)=1274.$ ¿Cuál de los siguientes podría ser el valor de $S(n+1)$ ?

Let $S(n)$ equal the sum of the digits of positive integer $n.$ For example, $S(1507)=13.$ For a particular positive integer $n,$ $S(n)=1274.$ Which of the following could be the value of $S(n+1)?$

$1$

$3$

$12$

$1239$

$1265$

Conceptos:dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Sumar $1$ a $n$ aumenta la suma de dígitos en $1,$ salvo que cada $9$ al final se convierte en un $0,$ perdiendo $9.$ Si $n$ termina en exactamente $k$ nueves, entonces $S(n+1)=S(n)+1-9k$ $=1275-9k.$

Así que los valores posibles son $1275,1266,1257,\ldots$ Entre las opciones, solo $1239=1275-9\cdot4$ encaja (por ejemplo, $n$ terminando en cuatro $9$ precedidos de suficientes $1$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding $1$ to $n$ increases the digit sum by $1,$ except that each trailing $9$ turns into a $0,$ losing $9.$ If $n$ ends in exactly $k$ nines, then $S(n+1)=S(n)+1-9k$ $=1275-9k.$

So the possible values are $1275,1266,1257,\ldots$ Among the choices, only $1239=1275-9\cdot4$ fits (for example, $n$ ending in four $9$ s preceded by enough $1$ s).

Thus, the correct answer is D.

19.

Un cuadrado de lado $x$ está inscrito en un triángulo rectángulo con lados de longitud $3,$ $4,$ y $5$ de modo que un vértice del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo. Un cuadrado de lado $y$ está inscrito en otro triángulo rectángulo con lados de longitud $3,$ $4,$ y $5$ de modo que un lado del cuadrado queda sobre la hipotenusa del triángulo. ¿Cuánto vale $\dfrac{x}{y}$ ?

A square with side length $x$ is inscribed in a right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one vertex of the square coincides with the right-angle vertex of the triangle. A square with side length $y$ is inscribed in another right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one side of the square lies on the hypotenuse of the triangle. What is $\dfrac{x}{y}?$

$\dfrac{12}{13}$

$\dfrac{35}{37}$

$1$

$\dfrac{37}{35}$

$\dfrac{13}{12}$

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2040

Solución:

Para el primer cuadrado, los dos triángulos más pequeños que recorta son semejantes al triángulo completo, lo que da $\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x},$ así que $x=\dfrac{12}{7}.$ (De forma equivalente, un cuadrado en el ángulo recto tiene lado $\dfrac{3\cdot4}{3+4}.$ )

Para el segundo cuadrado, toma la hipotenusa de longitud $5$ como base; la altura hacia ella es $h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}.$ Un cuadrado con un lado sobre una base $b$ y altura $h$ tiene lado $\dfrac{bh}{b+h},$ así que $y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

Por lo tanto $\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For the first square, the two smaller triangles it cuts off are similar to the whole triangle, giving $\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{4-x}{x},$ so $x=\dfrac{12}{7}.$ (Equivalently, a square in the right angle has side $\dfrac{3\cdot4}{3+4}.$ )

For the second square, take the hypotenuse of length $5$ as base; the altitude to it is $h=\dfrac{3\cdot4}{5}=\dfrac{12}{5}.$ A square with a side on a base $b$ and height $h$ has side $\dfrac{bh}{b+h},$ so $y=\dfrac{5\cdot\tfrac{12}{5}}{5+\tfrac{12}{5}}=\dfrac{12}{\tfrac{37}{5}}=\dfrac{60}{37}.$

Therefore $\dfrac{x}{y}=\dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{37}{60}=\dfrac{37}{35}.$

Thus, the correct answer is D.

20.

¿Cuántos pares ordenados $(a,b)$ tales que $a$ es un número real positivo y $b$ es un entero entre $2$ y $200,$ inclusive, satisfacen la ecuación $(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})$ ?

How many ordered pairs $(a,b)$ such that $a$ is a positive real number and $b$ is an integer between $2$ and $200,$ inclusive, satisfy the equation $(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})?$

$198$

$199$

$398$

$399$

$597$

Conceptos:logaritmo conteo básico

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $u=\log_b a.$ Como $\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,$ la ecuación es $u^{2017}=2017u,$ así que $u=0$ o $u^{2016}=2017.$

Si $u=0,$ entonces $a=1,$ válido para cada una de las $199$ bases. Si $u^{2016}=2017,$ entonces $u=\pm2017^{1/2016},$ lo que da $2$ valores de $a$ para cada base, es decir, $2\cdot199=398$ pares.

En total hay $199+398=597$ pares ordenados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $u=\log_b a.$ Since $\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,$ the equation is $u^{2017}=2017u,$ so $u=0$ or $u^{2016}=2017.$

If $u=0,$ then $a=1,$ valid for every one of the $199$ bases. If $u^{2016}=2017,$ then $u=\pm2017^{1/2016},$ giving $2$ values of $a$ for each base, i.e. $2\cdot199=398$ pairs.

In total there are $199+398=597$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

21.

Un conjunto $S$ se construye como sigue. Para empezar, $S=\{0,10\}.$ Repetidamente, mientras sea posible, si $x$ es una raíz entera de algún polinomio $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}$ $+\cdots+a_1x+a_0$ para algún $n\ge1,$ cuyos coeficientes $a_i$ son todos elementos de $S,$ entonces $x$ se agrega a $S.$ Cuando ya no se pueden agregar más elementos a $S,$ ¿cuántos elementos tiene $S$ ?

A set $S$ is constructed as follows. To begin, $S=\{0,10\}.$ Repeatedly, as long as possible, if $x$ is an integer root of some polynomial $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}$ $+\cdots+a_1x+a_0$ for some $n\ge1,$ all of whose coefficients $a_i$ are elements of $S,$ then $x$ is put into $S.$ When no more elements can be added to $S,$ how many elements does $S$ have?

$4$

$5$

$7$

$9$

$11$

Conceptos:polinomio divisibilidad enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2130

Solución:

Usando $10x+10,$ la raíz $-1$ entra en $S.$ Luego $1$ entra como raíz de $-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,$ y $-10$ entra a partir de $x+10.$

Ahora $x^3+x-10$ tiene raíz $2,$ y $x+2$ da $-2;$ luego $2x-10$ y $2x+10$ dan $\pm5.$ En este punto $S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.$

No puede aparecer ningún entero más: por el teorema de la raíz racional cualquier raíz entera divide al término constante, que siempre es un factor de $10.$ Así que $S$ tiene $9$ elementos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $10x+10,$ the root $-1$ enters $S.$ Then $1$ enters as a root of $-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,$ and $-10$ enters from $x+10.$

Now $x^3+x-10$ has root $2,$ and $x+2$ gives $-2;$ then $2x-10$ and $2x+10$ give $\pm5.$ At this point $S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.$

No further integer can appear: by the Rational Root Theorem any integer root divides the constant term, which is always a factor of $10.$ So $S$ has $9$ elements.

Thus, the correct answer is D.

22.

Se dibuja un cuadrado en el plano de coordenadas cartesiano con vértices en $(2,2),$ $(-2,2),$ $(-2,-2),$ y $(2,-2).$ Una partícula parte de $(0,0).$ Cada segundo se mueve con igual probabilidad a uno de los ocho puntos reticulares más cercanos a su posición actual, independientemente de sus movimientos anteriores. En otras palabras, la probabilidad es $\dfrac{1}{8}$ de que la partícula se mueva de $(x,y)$ a cada uno de $(x,y+1),$ $(x+1,y+1),$ $(x+1,y),$ $(x+1,y-1),$ $(x,y-1),$ $(x-1,y-1),$ $(x-1,y),$ o $(x-1,y+1).$ La partícula finalmente tocará el cuadrado por primera vez, ya sea en uno de los $4$ vértices del cuadrado o en uno de los $12$ puntos reticulares del interior de uno de los lados del cuadrado. La probabilidad de que toque en un vértice en lugar de en un punto interior de un lado es $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

A square is drawn in the Cartesian coordinate plane with vertices at $(2,2),$ $(-2,2),$ $(-2,-2),$ and $(2,-2).$ A particle starts at $(0,0).$ Every second it moves with equal probability to one of the eight lattice points closest to its current position, independently of its previous moves. In other words, the probability is $\dfrac{1}{8}$ that the particle will move from $(x,y)$ to each of $(x,y+1),$ $(x+1,y+1),$ $(x+1,y),$ $(x+1,y-1),$ $(x,y-1),$ $(x-1,y-1),$ $(x-1,y),$ or $(x-1,y+1).$ The particle will eventually hit the square for the first time, either at one of the $4$ corners of the square or at one of the $12$ lattice points in the interior of one of the sides of the square. The probability that it will hit at a corner rather than at an interior point of a side is $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$4$

$5$

$7$

$15$

$39$

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Por simetría, agrupa los puntos interiores relevantes en tres tipos: $C=\{(0,0)\},$ los puntos «de eje» $A=\{(\pm1,0),(0,\pm1)\},$ y los puntos «diagonales» $I=\{(\pm1,\pm1)\}.$ Sean $a,c,i$ las probabilidades de terminar tocando un vértice partiendo de un punto de tipo $A,C,I.$

Leyendo las probabilidades de transición (un punto en $A$ va a $A$ con probabilidad $\tfrac28,$ a $C$ con $\tfrac18,$ a $I$ con $\tfrac28,$ y al interior de un lado con $\tfrac38,$ etc.) se obtiene $\begin{aligned} &a=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac28 i,\quad \\ &c=\tfrac48 a+\tfrac48 i,\quad \\ &i=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac18. \end{aligned}$

Al resolver se obtiene $a=\dfrac{1}{14},$ $c=\dfrac{4}{35},$ $i=\dfrac{11}{70}.$ La probabilidad buscada es $c=\dfrac{4}{35},$ así que $m+n=4+35=39.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By symmetry, group the relevant interior points into three types: $C=\{(0,0)\},$ the "axis" points $A=\{(\pm1,0),(0,\pm1)\},$ and the "diagonal" points $I=\{(\pm1,\pm1)\}.$ Let $a,c,i$ be the probabilities of eventually hitting a corner starting from a point of type $A,C,I.$

Reading off the transition probabilities (a point in $A$ goes to $A$ with prob $\tfrac28,$ to $C$ with $\tfrac18,$ to $I$ with $\tfrac28,$ and to a side interior with $\tfrac38,$ etc.) gives $\begin{aligned} &a=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac28 i,\quad \\ &c=\tfrac48 a+\tfrac48 i,\quad \\ &i=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac18. \end{aligned}$

Solving yields $a=\dfrac{1}{14},$ $c=\dfrac{4}{35},$ $i=\dfrac{11}{70}.$ The required probability is $c=\dfrac{4}{35},$ so $m+n=4+35=39.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Para ciertos números reales $a,$ $b,$ y $c,$ el polinomio $g(x)=x^3+ax^2+x+10$ tiene tres raíces distintas, y cada raíz de $g(x)$ es también raíz del polinomio $\begin{aligned} &f(x)=x^4+x^3+bx^2 \\ &\quad {}+100x+c. \end{aligned}$ ¿Cuánto vale $f(1)$ ?

For certain real numbers $a,$ $b,$ and $c,$ the polynomial $g(x)=x^3+ax^2+x+10$ has three distinct roots, and each root of $g(x)$ is also a root of the polynomial $\begin{aligned} &f(x)=x^4+x^3+bx^2 \\ &\quad {}+100x+c. \end{aligned}$ What is $f(1)?$

$-9009$

$-8008$

$-7007$

$-6006$

$-5005$

Conceptos:polinomio factorización

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Como $g$ tiene tres raíces distintas, todas compartidas por la cuártica $f,$ podemos escribir $f(x)=(x-q)g(x)$ para alguna raíz restante $q.$ Desarrollando, $\begin{aligned} &f(x)=x^4+(a-q)x^3 \\ &\quad {}+(1-qa)x^2 \\ &\quad {}+(10-q)x-10q. \end{aligned}$

Igualando el coeficiente de $x$ , $10-q=100,$ así que $q=-90.$ Igualando el coeficiente de $x^3$ , $a-q=1,$ así que $a=-89.$

Entonces $g(1)=1+a+1+10$ $=12-89=-77$ y $1-q=91,$ así que $\begin{aligned} &f(1)=(1-q)g(1) \\ &=91\cdot(-77)=-7007. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $g$ has three distinct roots all shared by the quartic $f,$ we can write $f(x)=(x-q)g(x)$ for some remaining root $q.$ Expanding, $\begin{aligned} &f(x)=x^4+(a-q)x^3 \\ &\quad {}+(1-qa)x^2 \\ &\quad {}+(10-q)x-10q. \end{aligned}$

Matching the $x$ coefficient, $10-q=100,$ so $q=-90.$ Matching the $x^3$ coefficient, $a-q=1,$ so $a=-89.$

Then $g(1)=1+a+1+10$ $=12-89=-77$ and $1-q=91,$ so $\begin{aligned} &f(1)=(1-q)g(1) \\ &=91\cdot(-77)=-7007. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

24.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en la circunferencia $O$ y tiene lados $AB=3,$ $BC=2,$ $CD=6,$ y $DA=8.$ Sean $X$ y $Y$ puntos sobre $BD$ tales que $\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4}$ y $\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}.$ Sea $E$ la intersección de la recta $AX$ y la recta que pasa por $Y$ paralela a $AD.$ Sea $F$ la intersección de la recta $CX$ y la recta que pasa por $E$ paralela a $AC.$ Sea $G$ el punto de la circunferencia $O$ distinto de $C$ que está sobre la recta $CX.$ ¿Cuánto vale $XF\cdot XG$ ?

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in circle $O$ and has sides $AB=3,$ $BC=2,$ $CD=6,$ and $DA=8.$ Let $X$ and $Y$ be points on $BD$ such that $\dfrac{DX}{BD}=\dfrac{1}{4}$ and $\dfrac{BY}{BD}=\dfrac{11}{36}.$ Let $E$ be the intersection of line $AX$ and the line through $Y$ parallel to $AD.$ Let $F$ be the intersection of line $CX$ and the line through $E$ parallel to $AC.$ Let $G$ be the point on circle $O$ other than $C$ that lies on line $CX.$ What is $XF\cdot XG?$

$17$

$\dfrac{59-5\sqrt2}{3}$

$\dfrac{91-12\sqrt3}{4}$

$\dfrac{67-10\sqrt2}{3}$

$18$

Conceptos:semejanza potencia de un punto ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Como $YE\parallel AD$ y $EF\parallel AC,$ obtenemos $\triangle XEY\sim\triangle XAD$ y $\triangle XEF\sim\triangle XAC,$ lo que da $\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA}$ y $\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}.$ Por lo tanto $\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY},$ así que $XF\cdot XD=XC\cdot XY.$

La potencia del punto $X$ da $XC\cdot XG=XD\cdot XB,$ y al combinar se obtiene $XF\cdot XG=XB\cdot XY.$ Con $d=BD,$ $DX=\dfrac14 d$ y $BY=\dfrac{11}{36}d,$ así que $\begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}$

Como $ABCD$ es cíclico, $\angle BAD$ y $\angle BCD$ son suplementarios. La ley de cosenos en $\triangle ABD$ y $\triangle CBD$ da $\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24},$ así que $d^2=51.$ Por lo tanto $XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $YE\parallel AD$ and $EF\parallel AC,$ we get $\triangle XEY\sim\triangle XAD$ and $\triangle XEF\sim\triangle XAC,$ giving $\dfrac{XY}{XE}=\dfrac{XD}{XA}$ and $\dfrac{XF}{XE}=\dfrac{XC}{XA}.$ Hence $\dfrac{XC}{XD}=\dfrac{XF}{XY},$ so $XF\cdot XD=XC\cdot XY.$

Power of a Point at $X$ gives $XC\cdot XG=XD\cdot XB,$ and combining yields $XF\cdot XG=XB\cdot XY.$ With $d=BD,$ $DX=\dfrac14 d$ and $BY=\dfrac{11}{36}d,$ so $\begin{aligned} XF\cdot XG &=\left(d-\tfrac14 d\right) \\ &\quad {}\cdot\left(d-\tfrac14 d-\tfrac{11}{36}d\right) \\ &=\dfrac34 d\cdot\dfrac49 d=\dfrac{d^2}{3}. \end{aligned}$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle BAD$ and $\angle BCD$ are supplementary. The Law of Cosines on $\triangle ABD$ and $\triangle CBD$ gives $\dfrac{73-d^2}{48}=\dfrac{d^2-40}{24},$ so $d^2=51.$ Therefore $XF\cdot XG=\dfrac{51}{3}=17.$

Thus, the correct answer is A.

25.

Los vértices $V$ de un hexágono centralmente simétrico en el plano complejo están dados por $V=\left\{\begin{gathered} \sqrt2 i,\;-\sqrt2 i, \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1-i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1-i) \end{gathered}\right\}.$ Para cada $j,$ $1\le j\le12,$ se elige un elemento $z_j$ de $V$ al azar, independientemente de las demás elecciones. Sea $P=\prod_{j=1}^{12}z_j$ el producto de los $12$ números seleccionados. ¿Cuál es la probabilidad de que $P=-1$ ?

The vertices $V$ of a centrally symmetric hexagon in the complex plane are given by $V=\left\{\begin{gathered} \sqrt2 i,\;-\sqrt2 i, \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1+i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(1-i), \\ \tfrac{1}{\sqrt8}(-1-i) \end{gathered}\right\}.$ For each $j,$ $1\le j\le12,$ an element $z_j$ is chosen from $V$ at random, independently of the other choices. Let $P=\prod_{j=1}^{12}z_j$ be the product of the $12$ numbers selected. What is the probability that $P=-1?$

$\dfrac{5\cdot11}{3^{10}}$

$\dfrac{5^2\cdot11}{2\cdot3^{10}}$

$\dfrac{5\cdot11}{3^9}$

$\dfrac{5\cdot7\cdot11}{2\cdot3^{10}}$

$\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}$

Conceptos:número complejo probabilidad binomial

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Sea $A=\{\sqrt2 i,-\sqrt2 i\}$ (cada uno de módulo $\sqrt2$ ) y sea $B$ los otros cuatro elementos (cada uno de módulo $\dfrac12$ ). Como $|P|=(\sqrt2)^{\#A}\left(\tfrac12\right)^{\#B}=1$ obliga a $\#A=8$ y $\#B=4,$ exactamente $8$ factores deben provenir de $A$ y $4$ de $B.$

Un producto de $8$ elementos de $A$ es igual a $\pm16$ (real), y un producto de $4$ elementos de $B$ es igual a uno de $\pm\tfrac{1}{16},\pm\tfrac{i}{16}.$ Su producto es uno de $\pm1,\pm i,$ cada uno igualmente probable, así que exactamente $\tfrac14$ de estas configuraciones dan $P=-1.$

La probabilidad de caer en el patrón de $8$ de $A$ , $4$ de $B$ es $\binom{12}{4}\left(\tfrac13\right)^8\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{880}{3^{10}}.$ Multiplicando por $\tfrac14$ se obtiene $\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{880}{3^{10}} \\ &=\dfrac{220}{3^{10}}=\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $A=\{\sqrt2 i,-\sqrt2 i\}$ (each of magnitude $\sqrt2$ ) and $B$ be the other four elements (each of magnitude $\dfrac12$ ). Since $|P|=(\sqrt2)^{\#A}\left(\tfrac12\right)^{\#B}=1$ forces $\#A=8$ and $\#B=4,$ exactly $8$ factors must come from $A$ and $4$ from $B.$

A product of $8$ elements of $A$ equals $\pm16$ (real), and a product of $4$ elements of $B$ equals one of $\pm\tfrac{1}{16},\pm\tfrac{i}{16}.$ Their product is one of $\pm1,\pm i,$ each equally likely, so exactly $\tfrac14$ of these configurations give $P=-1.$

The chance of landing in the $8$ -from- $A$ , $4$ -from- $B$ pattern is $\binom{12}{4}\left(\tfrac13\right)^8\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{880}{3^{10}}.$ Multiplying by $\tfrac14$ gives $\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{880}{3^{10}} \\ &=\dfrac{220}{3^{10}}=\dfrac{2^2\cdot5\cdot11}{3^{10}}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.