Question

Rachel y Robert corren en una pista circular. Rachel corre en sentido antihorario y completa una vuelta cada $90$ segundos, y Robert corre en sentido horario y completa una vuelta cada $80$ segundos. Ambos parten de la línea de salida al mismo tiempo. En algún instante aleatorio entre los $10$ minutos y los $11$ minutos después de comenzar a correr, un fotógrafo que está dentro de la pista toma una foto que muestra un cuarto de la pista, centrada en la línea de salida. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachel y Robert estén ambos en la foto?

Rachel and Robert run on a circular track. Rachel runs counterclockwise and completes a lap every $90$ seconds, and Robert runs clockwise and completes a lap every $80$ seconds. Both start from the start line at the same time. At some random time between $10$ minutes and $11$ minutes after they begin to run, a photographer standing inside the track takes a picture that shows one-fourth of the track, centered on the starting line. What is the probability that both Rachel and Robert are in the picture?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

Solución:

La foto cubre el arco que dista a lo sumo $\dfrac{1}{8}$ de vuelta de la salida a cada lado. En $600$ s Rachel ha corrido $6\tfrac{2}{3}$ vueltas, a $30$ s de la línea; un cuarto de vuelta le toma $22.5$ s, así que está a la vista entre $30 - 11.25 = 18.75$ s y $30 + 11.25 = 41.25$ s del minuto $10$ .

En $600$ s Robert está a $40$ s de la línea; un cuarto de vuelta toma $20$ s, así que está a la vista entre $30$ y $50$ s. Ambos aparecen entre $30$ y $41.25$ s, una ventana de $11.25$ s de entre $60,$ lo que da una probabilidad de $\dfrac{11.25}{60} = \dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The picture covers the arc within $\dfrac{1}{8}$ lap of the start on each side. At $600$ s Rachel has run $6\tfrac{2}{3}$ laps, $30$ s short of the line; a quarter lap takes her $22.5$ s, so she is in view between $30 - 11.25 = 18.75$ s and $30 + 11.25 = 41.25$ s of the $10$ th minute.

At $600$ s Robert is $40$ s from the line; a quarter lap takes $20$ s, so he is in view between $30$ and $50$ s. Both appear between $30$ and $41.25$ s, a window of $11.25$ s out of $60,$ giving probability $\dfrac{11.25}{60} = \dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años