Question

Se desea factorizar la expresión $21x^2+ax+21$ en dos factores binomiales lineales irreducibles con coeficientes enteros. Esto puede hacerse si $a$ es:

The expression $21x^2+ax+21$ is to be factored into two linear prime binomial factors with integer coefficients. This can be done if $a$ is:

Cualquier número impar

Any odd number

Algún número impar

Some odd number

Cualquier número par

Any even number

Algún número par

Some even number

Cero

Zero

Respuesta: D

Conceptos:factorización paridad

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe los factores como $(Ax+B)(Cx+D)$

Write the factors as $(Ax+B)(Cx+D)$

Pista grande:

Como $AC=BD=21,$ los cuatro factores enteros son impares

Because $AC=BD=21,$ all four integer factors are odd

Solución:

Supongamos que $\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}$ Entonces $AC=BD=21,$ de modo que $A,B,C,D$ son impares. Por lo tanto, $a=AD+BC$ es par. Algunos valores pares funcionan; por ejemplo, $\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}$ No todos los valores pares funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose $\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}$ Then $AC=BD=21,$ so $A,B,C,D$ are odd. Therefore $a=AD+BC$ is even. Some even values work; for example, $\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}$ Not every even value works.

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años