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1997 AMC 12 Problema 18

Intenta el Problema 18 del 1997 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1997 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Una lista de enteros tiene moda 3232 y media 22.22. El menor número de la lista es 10.10. La mediana mm pertenece a la lista. Si se reemplazara el elemento mm por m+10,m+10, la media y la mediana de la nueva lista serían 2424 y m+10,m+10, respectivamente. Si, en cambio, se reemplazara mm por m−8,m-8, la mediana de la nueva lista sería m−4.m-4. ¿Cuál es el valor de mm?

A list of integers has mode 3232 and mean 22.22. The smallest number in the list is 10.10. The median mm of the list is a member of the list. If the list member mm were replaced by m+10,m+10, the mean and median of the new list would be 2424 and m+10,m+10, respectively. If mm were instead replaced by m−8,m-8, the median of the new list would be m−4.m-4. What is m?m?

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2020

Respuesta: E
Conceptos:mediamedianmoda
Nivel de dificultad: 2010
Pista pequeña:

Un aumento total de 1010 eleva la media en 22, lo cual determina la longitud de la lista

A total increase of 1010 raises the mean by 22, determining the list length

Pista grande:

Ordena los cinco elementos y usa los dos cambios de mediana indicados para identificar los elementos contiguos a mm

Order the five entries and use the two stated median changes to identify the entries beside mm

Solución:

La lista tiene 102=5\frac{10}{2}=5 elementos. Se escriben como 10≤a≤m≤b≤c.10\le a\le m\le b\le c. Al reemplazar mm por m+10m+10, ese valor se convierte en la mediana, por lo que b≥m+10b\ge m+10 y c≥m+10;c\ge m+10; como la moda es 32,32, debe cumplirse b=c=32.b=c=32. La suma original es 110,110, de modo que a+m=36.a+m=36. Al reemplazar mm por m−8m-8, la mediana pasa a ser a=m−4,a=m-4, así que 2m−4=362m-4=36 y m=20.m=20. Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The list has 102=5\frac{10}{2}=5 entries. Write them 10≤a≤m≤b≤c.10\le a\le m\le b\le c. Replacing mm by m+10m+10 makes that value the median, so b≥m+10b\ge m+10 and c≥m+10;c\ge m+10; because the mode is 32,32, we must have b=c=32.b=c=32. The original total is 110,110, giving a+m=36.a+m=36. Replacing mm by m−8m-8 makes the median a=m−4,a=m-4, so 2m−4=362m-4=36 and m=20.m=20. Thus E is correct.

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