Question

Un círculo de radio $2$ tiene centro en $(2,0).$ Un círculo de radio $1$ tiene centro en $(5,0).$ Una recta es tangente a los dos círculos en puntos del primer cuadrante. ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano al intercepto con el eje $y$ de la recta?

A circle of radius $2$ has center at $(2,0).$ A circle of radius $1$ has center at $(5,0).$ A line is tangent to the two circles at points in the first quadrant. Which of the following is closest to the $y$ -intercept of the line?

$\frac{\sqrt2}{4}$

$\frac{\sqrt8}{3}$

$1+\sqrt3$

$2\sqrt2$

$3$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica common tangents

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe la tangente como $y=mx+b$ y usa la distancia de cada centro a la recta

Write the tangent as $y=mx+b$ and use point-to-line distance for each center

Pista grande:

Resta las dos ecuaciones de distancia para determinar la pendiente antes de hallar el intercepto

Subtract the two distance equations to determine the slope before solving for the intercept

Solución:

Escribe la tangente común superior como $mx-y+b=0$ y sea $s=\sqrt{m^2+1}.$ Las dos distancias de los centros a la recta dan $2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.$ Por tanto, $3m=-s,$ así que $9m^2=m^2+1$ y $m=-\frac{1}{\sqrt8}.$ De la segunda ecuación, $\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write the upper common tangent as $mx-y+b=0$ and let $s=\sqrt{m^2+1}.$ The two center-to-line distances give $2m+b=2s,\qquad 5m+b=s.$ Thus $3m=-s,$ so $9m^2=m^2+1$ and $m=-\frac{1}{\sqrt8}.$ From the second equation, $\begin{aligned} b&=s-5m\\ &=\frac3{\sqrt8}+\frac5{\sqrt8}=2\sqrt2. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is D.

1996 AMC 12 Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años