Question

Dos rayos con extremo común $O$ forman un ángulo de $30^\circ.$ El punto $A$ está en un rayo, el punto $B$ en el otro, y $AB=1.$ La mayor longitud posible de $OB$ es

Two rays with common endpoint $O$ form a $30^\circ$ angle. Point $A$ lies on one ray, point $B$ on the other ray, and $AB=1.$ The maximum possible length of $OB$ is

$1$

$\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$

$\sqrt3$

$2$

$\frac4{\sqrt3}$

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos discriminant

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Aplica la ley de los cosenos a $\triangle AOB$

Apply the Law of Cosines to $\triangle AOB$

Pista grande:

Considera la relación obtenida como una cuadrática en $OA$ y exige una solución real

Treat the resulting relation as a quadratic in $OA$ and require a real solution

Solución:

Sean $OA=x$ y $OB=y.$ La ley de los cosenos da $1=x^2+y^2-\sqrt3xy.$ Como cuadrática en $x,$ su discriminante es $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.$ Para que $x$ sea real se requiere $y\le2,$ y la igualdad se alcanza cuando $x=\sqrt3.$ Por ello, el máximo es $2,$ y la respuesta correcta es D.

Let $OA=x$ and $OB=y.$ The Law of Cosines gives $1=x^2+y^2-\sqrt3xy.$ As a quadratic in $x,$ this has discriminant $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.$ A real $x$ requires $y\le2,$ and equality is attained when $x=\sqrt3.$ Hence the maximum is $2,$ and the correct answer is D.

1995 AMC 12 Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años