Question

两条以 $O$ 为公共端点的射线组成一个 $30^\circ$ 角。点 $A$ 位于一条射线上，点 $B$ 位于另一条射线上，且 $AB=1$ 。 $OB$ 的最大可能长度是

Two rays with common endpoint $O$ form a $30^\circ$ angle. Point $A$ lies on one ray, point $B$ on the other ray, and $AB=1.$ The maximum possible length of $OB$ is

$1$

$\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$

$\sqrt3$

$2$

$\frac4{\sqrt3}$

答案：D

知识点：余弦定理 discriminant

难度评级：1700

小提示：

对 $\triangle AOB$ 应用余弦定理

Apply the Law of Cosines to $\triangle AOB$

大提示：

将所得关系式看作关于 $OA$ 的二次方程，并要求它有实数解

Treat the resulting relation as a quadratic in $OA$ and require a real solution

解答：

设 $OA=x$ ， $OB=y$ 。由余弦定理得 $1=x^2+y^2-\sqrt3xy\text{。}$ 把它看作关于 $x$ 的二次方程，其判别式为 $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2$ 。要使 $x$ 为实数，必须有 $y\le2$ ；当 $x=\sqrt3$ 时可以取到等号。因此最大值为 $2$ ，正确答案是 D。

Let $OA=x$ and $OB=y.$ The Law of Cosines gives $1=x^2+y^2-\sqrt3xy.$ As a quadratic in $x,$ this has discriminant $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.$ A real $x$ requires $y\le2,$ and equality is attained when $x=\sqrt3.$ Hence the maximum is $2,$ and the correct answer is D.

1995 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：1700

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题