Question

一列整数的众数为 $32$ ，平均数为 $22$ ，其中最小的数为 $10$ 。中位数 $m$ 是这列数中的一员。若将 $m$ 替换为 $m+10$ ，新数列的平均数和中位数分别为 $24$ 和 $m+10$ 。若改为将 $m$ 替换为 $m-8$ ，新数列的中位数为 $m-4$ 。求 $m$ 。

A list of integers has mode $32$ and mean $22.$ The smallest number in the list is $10.$ The median $m$ of the list is a member of the list. If the list member $m$ were replaced by $m+10,$ the mean and median of the new list would be $24$ and $m+10,$ respectively. If $m$ were instead replaced by $m-8,$ the median of the new list would be $m-4.$ What is $m?$

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

答案：E

知识点：平均数 median 众数

难度评级：2010

小提示：

总和增加 $10$ 会使平均数增加 $2$ ，由此确定数列的项数

A total increase of $10$ raises the mean by $2$ , determining the list length

大提示：

将五个数按大小排列，再利用题目给出的两次中位数变化确定 $m$ 两旁的数

Order the five entries and use the two stated median changes to identify the entries beside $m$

解答：

这列数共有 $\frac{10}{2}=5$ 项。将它们写成 $10\le a\le m\le b\le c$ 。把 $m$ 替换为 $m+10$ 后，这个新值成为中位数，所以 $b\ge m+10$ 且 $c\ge m+10$ ；又因为众数是 $32$ ，必有 $b=c=32$ 。原数列的总和为 $110$ ，所以 $a+m=36$ 。把 $m$ 替换为 $m-8$ 后，中位数为 $a=m-4$ ，所以 $2m-4=36$ ，解得 $m=20$ 。因此正确答案是 E。

The list has $\frac{10}{2}=5$ entries. Write them $10\le a\le m\le b\le c.$ Replacing $m$ by $m+10$ makes that value the median, so $b\ge m+10$ and $c\ge m+10;$ because the mode is $32,$ we must have $b=c=32.$ The original total is $110,$ giving $a+m=36.$ Replacing $m$ by $m-8$ makes the median $a=m-4,$ so $2m-4=36$ and $m=20.$ Thus E is correct.

1997 AMC 12 第 18 题

答案：E

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题