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2010 AMC 12B 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

一只青蛙跳 33 次，每次恰好跳 11 米。每次跳跃的方向都是独立随机选择的。青蛙最终位置离起点不超过 11 米的概率是多少？

A frog makes 33 jumps, each exactly 11 meter long. The directions of the jumps are chosen independently and at random. What is the probability that the frog’s final position is no more than 11 meter from its starting position?

16\dfrac{1}{6}

15\dfrac{1}{5}

14\dfrac{1}{4}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

答案：C
知识点：几何概率随机游走
难度评级：2030
小提示：

把中间一跳固定在一条线段上；起点和终点由两个独立角度决定

Anchor the middle jump on a fixed segment; the start and end depend on two independent angles

大提示：

把条件化为这两个角度平面中的一个区域，再比较面积

Reduce the condition to a region in the plane of those two angles, then compare areas

解答：

这是一个连续的几何概率问题。把第二跳固定为从 P=(0,0)P=(0,0) 到 Q=(1,0)Q=(1,0)，令 α,β\alpha,\beta 为第一跳和第三跳的方向，则起点为 A=(cos⁡α,sin⁡α)A=(\cos\alpha,\sin\alpha)，终点为 B=(1+cos⁡β,sin⁡β)B=(1+\cos\beta,\sin\beta)。

取 0≤α≤π0\le\alpha\le\pi 和 0≤β≤2π0\le\beta\le2\pi，条件 AB≤1AB\le1 恰好等价于 α≤β≤π\alpha\le\beta\le\pi。

在面积为 2π22\pi^2 的 αβ\alpha\beta-矩形中，有利区域是面积 π22\tfrac{\pi^2}{2} 的三角形，所以概率为 π222π2=14\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14。

因此，正确答案是 C。

This is a continuous (geometric) probability. Anchor the second jump from P=(0,0)P=(0,0) to Q=(1,0),Q=(1,0), and let α,β\alpha,\beta be the directions of the first and third jumps, so the start is A=(cos⁡α,sin⁡α)A=(\cos\alpha,\sin\alpha) and the end is B=(1+cos⁡β,sin⁡β).B=(1+\cos\beta,\sin\beta).

Taking 0≤α≤π0\le\alpha\le\pi and 0≤β≤2π,0\le\beta\le2\pi, the requirement AB≤1AB\le1 holds exactly when α≤β≤π.\alpha\le\beta\le\pi.

In the αβ\alpha\beta-rectangle of area 2π2,2\pi^2, the favorable region is a triangle of area π22,\tfrac{\pi^2}{2}, so the probability is π222π2=14.\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14.

Thus, the correct answer is C.

第 17 题#17
完整试卷
第 19 题#19

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