Question

若 $p\ge5$ 为质数，则 $24$ 整除 $p^2-1$

If $p\ge5$ is a prime number, then $24$ divides $p^2-1$ without remainder

从不成立

never

仅有时成立

sometimes only

恒成立

always

仅当 $p=5$ 时成立

only if $p=5$

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：整除性质数模运算

难度评级：1610

小提示：

因式分解 $p^2-1=(p-1)(p+1)$

Factor $p^2-1=(p-1)(p+1)$

大提示：

在三个连续整数 $p-1$ 、 $p$ 、 $p+1$ 中找出因子 $3$ 与 $8$ 的来源

Among the three consecutive integers $p-1,$ $p,$ $p+1,$ locate factors of $3$ and $8$

解答：

质数 $p\ge5$ 为奇数，所以 $p-1$ 与 $p+1$ 是两个连续偶数。其中一个能被 $4$ 整除，因此它们的乘积能被 $8$ 整除。在三个连续整数 $p-1$ 、 $p$ 、 $p+1$ 中，有一个能被 $3$ 整除。它不可能是 $p$ ，因为 $p\ge5$ 是质数，所以 $3$ 也整除 $(p-1)(p+1)$ 。由于 $3$ 与 $8$ 互质， $(p-1)(p+1)=p^2-1$ 恒能被 $24$ 整除。

所以正确答案是 C。

A prime $p\ge5$ is odd, so $p-1$ and $p+1$ are consecutive even integers. One is divisible by $4,$ making their product divisible by $8.$ Among the three consecutive integers $p-1,$ $p,$ $p+1,$ one is divisible by $3.$ It cannot be $p,$ since $p\ge5$ is prime, so $3$ also divides $(p-1)(p+1).$ Because $3$ and $8$ are relatively prime, $(p-1)(p+1)=p^2-1$ is always divisible by $24.$

Therefore, the correct answer is C.

1973 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题