Question

设 $x$ 和 $y$ 为正整数，且 $7x^5 = 11y^{13}$ 。 $x$ 的最小可能值的素因数分解为 $a^c b^d$ 。 $a + b + c + d$ 是多少？

Let $x$ and $y$ be positive integers such that $7x^5 = 11y^{13}.$ The minimum possible value of $x$ has a prime factorization $a^c b^d.$ What is $a + b + c + d?$

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

答案：B

知识点：质因数分解模运算

难度评级：1710

小提示：

最小的 $x$ 只需要用素数 $7$ 和 $11$ ，因此写成 $x = 7^c 11^d$

The minimum $x$ uses only the primes $7$ and $11,$ so write $x = 7^c 11^d$

大提示：

比较 $7$ 和 $11$ 的指数：需要 $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ 且 $5d \equiv 1 \pmod{13}$

Match exponents of $7$ and $11:$ need $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ and $5d \equiv 1 \pmod{13}$

解答：

要使 $x$ 最小， $x$ 和 $y$ 都不应含有 $7$ 与 $11$ 以外的素因数。写成 $x = 7^c 11^d$ ，则 $7x^5 = 7^{5c+1} 11^{5d}$ 。再写成 $y = 7^m 11^n$ ，需要 $7^{5c+1}11^{5d} = 7^{13m}11^{13n+1}$ 。

比较指数： $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ 给出最小的 $c = 5$ ，而 $5d \equiv 1 \pmod{13}$ 给出最小的 $d = 8$ 。所以 $a = 7$ ， $b = 11$ ， $\begin{aligned} &a + b + c + d \\ &= 7 + 11 + 5 + 8 = 31 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

For the minimum $x,$ neither $x$ nor $y$ has prime factors other than $7$ and $11.$ Write $x = 7^c 11^d,$ so $7x^5 = 7^{5c+1} 11^{5d}.$ Writing $y = 7^m 11^n,$ we need $7^{5c+1}11^{5d} = 7^{13m}11^{13n+1}.$

Matching exponents: $5c + 1 \equiv 0 \pmod{13}$ gives the least $c = 5,$ and $5d \equiv 1 \pmod{13}$ gives the least $d = 8.$ So $a = 7,$ $b = 11,$ and $\begin{aligned} &a + b + c + d \\ &= 7 + 11 + 5 + 8 = 31. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12B 第 18 题

答案：B

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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