Question

多项式 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 的系数为实数，且 $f(2i)=f(2+i)=0$ 。求 $a+b+c+d$ ？

The polynomial $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ has real coefficients, and $f(2i)=f(2+i)=0.$ What is $a+b+c+d?$

$0$

$1$

$4$

$9$

$16$

答案：D

知识点：复数多项式

难度评级：1630

小提示：

实系数保证共轭数 $-2i$ 和 $2-i$ 也都是根。

Real coefficients force the conjugates $-2i$ and $2-i$ to be roots as well

大提示：

$f(x)=(x^2+4)(x^2-4x+5)$ ；和 $a+b+c+d$ 等于 $f(1)-1$ 。

$f(x)=(x^2+4)(x^2-4x+5)$ ; the sum $a+b+c+d$ equals $f(1)-1$

解答：

因为 $f$ 的系数为实数，所以共轭数 $-2i$ 和 $2-i$ 也是根。因此 $\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20 \end{gathered}\text{。}$

所以 $a+b+c+d=-4+9$ $-16+20$ $=9$ 。等价地， $a+b+c+d=f(1)-1$ $=(1+4)(1+1)-1$ $=9$ 。

因此，正确答案是 D。

Since $f$ has real coefficients, the conjugates $-2i$ and $2-i$ are also roots. Thus $\begin{gathered} f(x) = (x^2+4)(x^2-4x+5) \\ = x^4-4x^3+9x^2 \\ {}-16x+20. \end{gathered}$

Then $a+b+c+d=-4+9$ $-16+20$ $=9.$ Equivalently, $a+b+c+d=f(1)-1$ $=(1+4)(1+1)-1$ $=9.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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