Question

函数 $f(x) = \cos(\log x)$ 在区间 $0 \lt x \lt 1$ 上有多少个零点？

How many zeros does $f(x) = \cos(\log x)$ have on the interval $0 \lt x \lt 1?$

$0$

$1$

$2$

$10$

无限多个

infinitely many

答案：E

知识点：三角学对数函数

难度评级：1770

小提示：

当 $x$ 在 $(0, 1)$ 中变化时， $\log x$ 取哪些值？

As $x$ ranges over $(0, 1),$ what values does $\log x$ take?

大提示：

$\log x$ 覆盖所有负数，而余弦函数在负数中有无限多个零点。

$\log x$ covers all negative numbers, and cosine vanishes at infinitely many of them

解答：

当 $x$ 在 $(0, 1)$ 中变化时， $\log x$ 覆盖所有负实数。余弦函数在 $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ 处为零，其中 $n$ 取遍每个正整数，而这些值全都是负数，因此 $f$ 有无限多个零点。

所以正确答案是 E。

As $x$ ranges over $(0, 1),$ $\log x$ ranges over all negative real numbers. The cosine function is zero at $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ for every positive integer $n,$ all of which are negative, so $f$ has infinitely many zeros.

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 第 18 题

答案：E

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题