Question

四棱锥 $ABCDE$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 $3$ cm 的正方形，高 $\overline{AE}$ 垂直于底面且长为 $6$ cm。点 $P$ 在 $\overline{BE}$ 上从 $B$ 到 $E$ 的三分之一处；点 $Q$ 在 $\overline{DE}$ 上从 $D$ 到 $E$ 的三分之一处；点 $R$ 在 $\overline{CE}$ 上从 $C$ 到 $E$ 的三分之二处。 $\triangle PQR$ 的面积是多少平方厘米？

Square pyramid $ABCDE$ has base $ABCD,$ which measures $3$ cm on a side, and altitude $\overline{AE}$ perpendicular to the base, which measures $6$ cm. Point $P$ lies on $\overline{BE},$ one third of the way from $B$ to $E;$ point $Q$ lies on $\overline{DE},$ one third of the way from $D$ to $E;$ and point $R$ lies on $\overline{CE},$ two thirds of the way from $C$ to $E.$ What is the area, in square centimeters, of $\triangle PQR?$

$\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\dfrac{3\sqrt3}{2}$

$2\sqrt2$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

答案：C

知识点：立体几何向量三角形面积

难度评级：1620

小提示：

设 $A=(0,0,0)$ ，并令 $E=(0,0,6)$ 在 $A$ 的上方

Set $A=(0,0,0)$ with $E=(0,0,6)$ above $A$

大提示：

求出 $P,Q,R$ ，再计算 $\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|$ 。

Find $P,Q,R,$ then compute $\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|$

解答：

取 $A=(0,0,0)$ ， $\ B=(3,0,0)$ ， $\ C=(3,3,0)$ ， $\ D=(0,3,0)$ ， $\ E=(0,0,6)$ 。则 $\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4) \end{gathered}\text{。}$

所以 $\vec{PQ}=(-2,2,0)$ ， $\vec{PR}=(-1,1,2)$ ，从而 $\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0)$ 。

面积为 $\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2$ 。

所以正确答案是 C。

Place $A=(0,0,0),$ $\ B=(3,0,0),$ $\ C=(3,3,0),$ $\ D=(0,3,0),$ $\ E=(0,0,6).$ Then $\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}$

So $\vec{PQ}=(-2,2,0)$ and $\vec{PR}=(-1,1,2),$ giving $\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).$

The area is $\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：1620

小提示：

大提示：

解答：

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