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1958 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

圆的半径 rr 增加 nn 后，面积变为原来的两倍。则 rr 等于：

The area of a circle is doubled when its radius rr is increased by n.n. Then rr equals:

n(2+1)n(\sqrt2+1)

n(2−1)n(\sqrt2-1)

nn

n(2−2)n(2-\sqrt2)

nπ2+1\dfrac{n\pi}{\sqrt2+1}

答案：A
知识点：圆面积根式代数变形
难度评级：1280
小提示：

将面积加倍的条件写成 π(r+n)2=2πr2\pi(r+n)^2=2\pi r^2

Translate the doubled-area condition into π(r+n)2=2πr2\pi(r+n)^2=2\pi r^2

大提示：

取正平方根后，解方程 r+n=2 rr+n=\sqrt2\,r

After taking positive square roots, solve r+n=2 rr+n=\sqrt2\,r

解答：

面积加倍的条件为 π(r+n)2=2πr2。 \pi(r+n)^2=2\pi r^2\text{。}由于半径为正，r+n=2 rr+n=\sqrt2\,r。因此 r=n2−1=n(2+1)。 r=\frac{n}{\sqrt2-1} =n(\sqrt2+1)\text{。}

所以正确答案为 A。

The doubled-area condition is π(r+n)2=2πr2. \pi(r+n)^2=2\pi r^2. Since the radii are positive, r+n=2 r.r+n=\sqrt2\,r. Thus r=n2−1=n(2+1). r=\frac{n}{\sqrt2-1} =n(\sqrt2+1).

Thus, the correct answer is A.

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