Question

三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 长 $8$ 英寸。作直线 $DEF$ 平行于 $AB$ ，其中 $D$ 在线段 $AC$ 上， $E$ 在线段 $BC$ 上。直线 $AE$ 的延长线平分角 $FEC$ 。若 $DE$ 长 $5$ 英寸，则 $CE$ 的长度（英寸）为：

Side $AB$ of triangle $ABC$ has length $8$ inches. Line $DEF$ is drawn parallel to $AB$ so that $D$ is on segment $AC,$ and $E$ is on segment $BC.$ Line $AE$ extended bisects angle $FEC.$ If $DE$ has length $5$ inches, then the length of $CE,$ in inches, is:

$\dfrac{51}{4}$

$13$

$\dfrac{53}{4}$

$\dfrac{40}{3}$

$\dfrac{27}{2}$

答案：D

知识点：相似角平分线平行线

难度评级：2000

小提示：

在 $AE$ 过 $E$ 的延长线上取点 $G$ ，于是角平分线条件为 $\angle FEG=\angle GEC$

Put $G$ on the extension of $AE$ beyond $E$ , so the bisector condition is $\angle FEG=\angle GEC$

大提示：

证明 $BE=AB$ 后，利用三角形 $CDE$ 与 $CAB$ 相似

After showing $BE=AB,$ use similarity of $CDE$ and $CAB$

解答：

在 $AE$ 过 $E$ 的延长线上取点 $G$ 。由角平分线条件， $\angle FEG=\angle GEC$ 。由于 $FE\parallel AB$ ，有 $\angle FEG=\angle BAE$ 。又因为射线 $EG$ 与 $EA$ 方向相反，射线 $EC$ 与 $EB$ 方向也相反，所以 $\angle GEC=\angle AEB$ 。因此三角形 $ABE$ 为等腰三角形，且 $BE=AB=8$ 。由相似三角形 $CDE$ 与 $CAB$ 得 $\frac{CE}{CE+8}=\frac58$ 。因此 $8CE=5CE+40$ ，所以 $CE=\frac{40}{3}$ 。

因此，正确答案是 D。

Put $G$ on the extension of $AE$ beyond $E.$ The bisector condition gives $\angle FEG=\angle GEC.$ Since $FE\parallel AB,$ we have $\angle FEG=\angle BAE.$ Also, rays $EG$ and $EA$ are opposite, as are rays $EC$ and $EB,$ so $\angle GEC=\angle AEB.$ Thus triangle $ABE$ is isosceles and $BE=AB=8.$ Similar triangles $CDE$ and $CAB$ give $\frac{CE}{CE+8}=\frac58.$ Hence $8CE=5CE+40,$ so $CE=\frac{40}{3}.$

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题