Question

使 $\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01$ 成立的最小正整数 $n$ 是多少？

What is the smallest positive integer $n$ such that $\sqrt n-\sqrt{n-1}\lt0.01?$

$2499$

$2500$

$2501$

$10{,}000$

不存在这样的整数。

There is no such integer.

答案：C

知识点：根式分母有理化不等式

难度评级：1860

小提示：

将 $\sqrt n-\sqrt{n-1}$ 有理化

Rationalize $\sqrt n-\sqrt{n-1}$

大提示：

在 $n=2500$ 附近，将所得分母与 $100$ 比较

Compare the resulting denominator with $100$ near $n=2500$

解答：

有理化可得 $\sqrt n-\sqrt{n-1} =\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}\text{。}$ 当 $n=2500$ 时，分母为 $50+\sqrt{2499}\lt100$ ，所以该差大于 $0.01$ 。当 $n=2501$ 时，分母为 $\sqrt{2501}+50\gt100$ ，所以该差小于 $0.01$ 。分母随 $n$ 增大而增大，因此 $2501$ 是满足条件的最小整数。

因此，正确答案是 C。

Rationalizing gives $\sqrt n-\sqrt{n-1} =\frac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}.$ For $n=2500,$ the denominator is $50+\sqrt{2499}\lt100,$ so the difference exceeds $0.01.$ For $n=2501,$ the denominator is $\sqrt{2501}+50\gt100,$ so the difference is less than $0.01.$ The denominator increases with $n,$ making $2501$ the least such integer.

Therefore, the correct answer is C.

1978 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题