Question

方程 $\frac{x}{100}=\sin x$ 的实数解的个数为

The number of real solutions to the equation $\frac{x}{100}=\sin x$ is

$61$

$62$

$63$

$64$

$65$

答案：C

知识点：三角学交点计数对称性

难度评级：2130

小提示：

利用奇对称性，先数出正数解

Use odd symmetry and first count the positive solutions

大提示：

只有位于 $x=100$ 之前的正弦函数正半波可能与直线相交，其中第一个正半波要单独考虑

Only positive sine humps below $x=100$ can meet the line, with special care for the first hump

解答：

该方程关于原点对称，并有解 $x=0$ 。在 $(0,\pi)$ 内还有一个正数解。对每个 $k=1,2,\ldots,15$ ，区间 $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ 上的正半波先升到直线 $\frac{x}{100}$ 上方，再降到其下方，因而产生两个解。在 $31\pi$ 之后没有正数解，因为下一个正半波开始时已经超过 $100$ ，而 $|\sin x|\le1$ 。所以正数解有 $1+2(15)=31$ 个，负数解同样多，再加上零本身，共有 $31+31+1=63$ 个。

所以正确答案是 C。

The equation is odd-symmetric and has the solution $x=0.$ On $(0,\pi)$ there is one further positive solution. For each $k=1,2,\ldots,15,$ the positive sine hump on $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ rises above $\frac{x}{100}$ and then falls below it, giving two solutions. There are no positive solutions beyond $31\pi$ , because the next positive hump begins above $100$ while $|\sin x|\le1.$ Thus there are $1+2(15)=31$ positive solutions, the same number negative, and zero itself: $31+31+1=63.$

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题