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1987 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

某书架恰好可由 AA 本代数书（厚度均相同）与 HH 本几何书（厚度均相同，且比代数书厚）共同放满。另有 SS 本代数书与 MM 本几何书也能放满同一书架。最后，单独用 EE 本代数书也能放满这个书架。已知 AA、HH、SS、MM、EE 是互不相同的正整数，则 EE 为

It takes AA algebra books (all the same thickness) and HH geometry books (all the same thickness, which is greater than that of an algebra book) to completely fill a certain shelf. Also, SS of the algebra books and MM of the geometry books would fill the same shelf. Finally, EE of the algebra books alone would fill this shelf. Given that A,A, H,H, S,S, M,M, EE are distinct positive integers, it follows that EE is

AM+SHM+H\frac{AM+SH}{M+H}

AM2+SH2M2+H2\frac{AM^2+SH^2}{M^2+H^2}

AH−SMM−H\frac{AH-SM}{M-H}

AM−SHM−H\frac{AM-SH}{M-H}

AM2−SH2M2−H2\frac{AM^2-SH^2}{M^2-H^2}

答案：D
知识点：linear equationsrates and mixturesalgebraic elimination
难度评级：1980
小提示：

设两种书的厚度分别为 aa 和 gg，并将书架长度定为 11

Let aa and gg be the two book thicknesses and normalize the shelf length to 11

大提示：

从 Aa+Hg=1Aa+Hg=1 与 Sa+Mg=1Sa+Mg=1 中消去几何书的厚度

Eliminate the geometry-book thickness from Aa+Hg=1Aa+Hg=1 and Sa+Mg=1Sa+Mg=1

解答：

令书架长度为 11，代数书和几何书的厚度分别为 a,ga,g。则 Aa+Hg=1,Sa+Mg=1,Ea=1。 \begin{aligned} Aa+Hg&=1,\\ Sa+Mg&=1,\qquad Ea=1 \end{aligned}\text{。}将第一个方程乘以 MM，第二个方程乘以 HH，再相减，得到 (AM−SH)a=M−H。 (AM-SH)a=M-H\text{。}因此 E=1a=AM−SHM−H。 E=\frac1a=\frac{AM-SH}{M-H}\text{。}

所以正确答案是 D。

Let the shelf length be 1,1, and let a,ga,g be the algebra- and geometry-book thicknesses. Then Aa+Hg=1,Sa+Mg=1,Ea=1. \begin{aligned} Aa+Hg&=1,\\ Sa+Mg&=1,\qquad Ea=1. \end{aligned} Multiplying the first equation by M,M, the second by H,H, and subtracting gives (AM−SH)a=M−H. (AM-SH)a=M-H. Hence E=1a=AM−SHM−H. E=\frac1a=\frac{AM-SH}{M-H}.

Thus the correct answer is D.

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