Question

先随机选择 $a$ ，它来自集合 $\{1,2,3,\ldots,99,100\}$ ；再从同一集合中随机选择 $b$ 。整数 $3^a+7^b$ 的个位数字为 $8$ 的概率是

First $a$ is chosen at random from the set $\{1,2,3,\ldots,99,100\},$ and then $b$ is chosen at random from the same set. The probability that the integer $3^a+7^b$ has units digit $8$ is

$\frac1{16}$

$\frac18$

$\frac3{16}$

$\frac15$

$\frac14$

答案：C

知识点：模运算 probability exponent cycle

难度评级：2060

小提示：

这两个幂的个位数字都以 $4$ 为周期重复

The units digits of both powers repeat with period $4$

大提示：

列出余数对 $(a\bmod4,b\bmod4)$ 中能使个位数字为 $8$ 的情形

List the residue pairs $(a\bmod4,b\bmod4)$ that produce a units digit of $8$

解答：

$3^a$ 在 $a\equiv1,2,3,0\pmod4$ 时的个位数字依次为 $3,9,7,1$ ；而 $7^b$ 的个位数字依次为 $7,9,3,1$ 。和的个位数字为 $8$ 时，余数对为 $\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4 \end{aligned}\text{。}$ 每种余数都出现 $25$ 次（在 $1,\ldots,100$ 中），所以所求概率为 $\frac{3}{16}$ 。

所以正确答案是 C。

The units digits of $3^a$ for $a\equiv1,2,3,0\pmod4$ are $3,9,7,1,$ while those of $7^b$ are $7,9,3,1.$ A sum ending in $8$ occurs for the residue pairs $\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}$ Each residue occurs $25$ times among $1,\ldots,100,$ so the probability is $\frac{3}{16}.$

Thus the correct answer is C.

1990 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题