Question

三角形 $ABC$ 内接于一个圆，且 $\angle B=\angle C=4\angle A$ 。若 $B$ 和 $C$ 是该圆内接正 $n$ 边形的相邻顶点，则 $n=$

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle, and $\angle B=\angle C=4\angle A.$ If $B$ and $C$ are adjacent vertices of a regular polygon of $n$ sides inscribed in this circle, then $n=$

$5$

$7$

$9$

$15$

$18$

答案：C

知识点：inscribed angles regular polygons

难度评级：1800

小提示：

利用三角形内角和求 $\angle A$

Use the triangle angle sum to find $\angle A$

大提示：

弦 $\overline{BC}$ 所对的圆心角是 $\angle A$ 的两倍

The central angle subtending $\overline{BC}$ is twice $\angle A$

解答：

由内角和得 $9\angle A=180^\circ$ ，所以 $\angle A=20^\circ$ 。因此弦 $\overline{BC}$ 所对的圆心角为 $40^\circ$ 。正 $n$ 边形的相邻顶点所对圆心角为 $\frac{360^\circ}{n}$ ，所以 $\frac{360^\circ}{n}=40^\circ\text{，}$ 从而 $n=9$ 。因此正确答案是 C。

The angle sum gives $9\angle A=180^\circ,$ so $\angle A=20^\circ.$ The central angle subtending chord $\overline{BC}$ is therefore $40^\circ.$ Adjacent vertices of a regular $n$ -gon subtend $\frac{360^\circ}{n},$ so $\frac{360^\circ}{n}=40^\circ,$ and $n=9.$ Thus the correct answer is C.

1994 AMC 12 第 18 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题