Question

递增正整数数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 对每个 $n\ge1$ 都满足 $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\text{。}$ 若 $a_7=120$ ，则 $a_8$ 为

The increasing sequence of positive integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ has the property that, for every $n\ge1,$ $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$ If $a_7=120,$ then $a_8$ is

$128$

$168$

$193$

$194$

$210$

答案：D

知识点：Fibonacci recurrence Diophantine equation increasing sequence

难度评级：1960

小提示：

写出 $a_7$ 和 $a_8$ 关于 $a_1$ 与 $a_2$ 的表达式

Write $a_7$ and $a_8$ in terms of $a_1$ and $a_2$

大提示：

从 $5a_1+8a_2=120$ 出发，使用同余关系和 $a_2\gt a_1\gt0$

From $5a_1+8a_2=120,$ use congruences and $a_2\gt a_1\gt0$

解答：

令 $a_1=a$ 、 $a_2=b$ 。反复使用递推关系可得 $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b \end{aligned}\text{。}$ 对第一个方程模 $5$ ，可知 $b$ 是 $5$ 的倍数。正数取值只有 $b=5$ 、 $b=10$ 或 $b=15$ 。条件 $b\gt a\gt0$ 使得只有 $b=10$ 和 $a=8$ 可行。因此 $a_8=8(8)+13(10)=194$ 。

因此正确答案是 D。

Let $a_1=a$ and $a_2=b.$ Repeated use of the recurrence gives $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}$ Modulo $5,$ the first equation shows that $b$ is a multiple of $5.$ The positive possibilities are $b=5,$ $b=10,$ or $b=15.$ The conditions $b\gt a\gt0$ leave only $b=10$ and $a=8.$ Hence $a_8=8(8)+13(10)=194.$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题