Question

将从 $19$ 到 $92$ 的两位整数依次写在一起，形成大整数 $N=19202122\ldots909192\text{。}$ 若 $3^k$ 是 $3$ 的幂中能整除 $N$ 的最高次者，则 $k=$

The two-digit integers from $19$ to $92$ are written consecutively to form the large integer $N=19202122\ldots909192.$ If $3^k$ is the highest power of $3$ that is a factor of $N,$ then $k=$

$0$

$1$

$2$

$3$

大于 $3$

more than $3$

答案：B

知识点：divisibility by 3 and 9 digit sum arithmetic series

难度评级：1830

小提示：

使用被 $3$ 和 $9$ 整除的数字和判别法

Use the digit-sum tests for divisibility by $3$ and $9$

大提示：

模 $9$ 时，这个拼接整数的数字和等同于 $19+20+\cdots+92$

Modulo $9,$ the digit sum of the concatenation equals $19+20+\cdots+92$

解答：

模 $9$ 时，一个数与其各位数字之和同余，所以 $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $N$ 能被 $3$ 整除但不能被 $9$ 整除，所以整除它的最高次 $3$ 的幂是 $3^1$ 。

因此正确答案是 B。

Modulo $9,$ a number is congruent to its digit sum, so $\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}$ Thus $N$ is divisible by $3$ but not by $9,$ so the highest power of $3$ dividing it is $3^1.$

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 17 题

答案：B

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题