Question

给定正五边形 $ABCDE$ ，可以作一个圆，使其与 $\overline{DC}$ 相切于 $D$ ，并与 $\overline{AB}$ 相切于 $A$ 。小弧 $\overset{\frown}{AD}$ 的度数是

Given regular pentagon $ABCDE,$ a circle can be drawn that is tangent to $\overline{DC}$ at $D$ and to $\overline{AB}$ at $A.$ The number of degrees in minor arc $\overset{\frown}{AD}$ is

$72$

$108$

$120$

$135$

$144$

答案：E

知识点：regular polygons tangents central angles

难度评级：1780

小提示：

通向 $A$ 和 $D$ 的半径分别垂直于对应的切边

The radii to $A$ and $D$ are perpendicular to the tangent sides

大提示：

利用正五边形的 $72^\circ$ 外角比较 $\overline{AB}$ 与 $\overline{DC}$ 的方向

Use the $72^\circ$ exterior angle of a regular pentagon to compare $\overline{AB}$ and $\overline{DC}$

解答：

设 $O$ 为圆心。沿五边形经过每个顶点时，方向改变 $72^\circ$ ，所以直线 $AB$ 与 $DC$ 的锐角夹角为 $36^\circ$ 。通向两个切点的半径分别垂直于这两条直线；对图示圆而言，小圆心角 $\angle AOD$ 是其补角 $180^\circ-36^\circ=144^\circ$ 。因此小弧 $\overset{\frown}{AD}$ 的度数为 $144^\circ$ ，正确答案是 E。

Let $O$ be the circle’s center. The direction changes by $72^\circ$ at each vertex of the pentagon, so the acute angle between lines $AB$ and $DC$ is $36^\circ.$ The radii to their tangency points are perpendicular to these lines; for the circle shown, the minor central angle $\angle AOD$ is the supplementary angle $180^\circ-36^\circ=144^\circ.$ Therefore minor arc $\overset{\frown}{AD}$ measures $144^\circ,$ and the correct answer is E.

1995 AMC 12 第 17 题

答案：E

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题