1995 AMC 12 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

金在前三次数学考试中的成绩分别为 $87$ 、 $83$ 和 $88$ 。如果她第四次考试得 $90$ 分，那么她的平均分将

Kim earned scores of $87,$ $83$ and $88$ on her first three mathematics examinations. If Kim receives a score of $90$ on the fourth exam, then her average will

保持不变

remain the same

增加 $1$ 分

increase by $1$

增加 $2$ 分

increase by $2$

增加 $3$ 分

increase by $3$

增加 $4$ 分

increase by $4$

答案：B

知识点：arithmetic mean

难度评级：690

小提示：

将 $90$ 与前三次成绩的平均数比较

Compare $90$ with the average of the first three scores

大提示：

先分别求出原来的总分和新的总分，再除以考试次数

Find the old and new totals before dividing by the number of exams

解答：

前三次成绩的总和为 $87+83+88=258$ ，所以平均分为 $\frac{258}{3}=86$ 。加上第四次成绩后，总分为 $348$ ，新的平均分为 $\frac{348}{4}=87$ 。平均分增加了 $1$ 分，因此正确答案是 B。

The first three scores total $87+83+88=258,$ so their average is $\frac{258}{3}=86.$ With the fourth score, the total is $348,$ and the new average is $\frac{348}{4}=87.$ It increases by $1,$ so the correct answer is B.

2.

若 $\sqrt{2+\sqrt{x}}=3$ ，则 $x=$

If $\sqrt{2+\sqrt{x}}=3,$ then $x=$

$1$

$\sqrt7$

$7$

$49$

$121$

答案：D

知识点：radical equations

难度评级：890

小提示：

先将等式两边平方一次，使 $\sqrt{x}$ 单独出现

Square both sides once to isolate $\sqrt{x}$

大提示：

分离出内层根式后，再平方一次

After isolating the inner radical, square a second time

解答：

平方得 $2+\sqrt{x}=9$ ，所以 $\sqrt{x}=7$ 。再次平方得 $x=49$ 。因此正确答案是 D。

Squaring gives $2+\sqrt{x}=9,$ so $\sqrt{x}=7.$ Squaring again gives $x=49.$ Thus the correct answer is D.

3.

某家电在商店内的总价为 $\$99.99$ 。电视广告称，同一产品可分三次轻松付款，每次 $\$29.98$ ，另收一次性运费及手续费 $\$9.98$ 。从电视广告商处购买可节省多少钱？

The total in-store price for an appliance is $\$99.99.$ A television commercial advertises the same product for three easy payments of $\$29.98$ and a one-time shipping and handling charge of $\$9.98.$ How much is saved by buying the appliance from the television advertiser?

$6$ 美分

$6$ cents

$7$ 美分

$7$ cents

$8$ 美分

$8$ cents

$9$ 美分

$9$ cents

$10$ 美分

$10$ cents

答案：B

知识点：decimal arithmetic unit prices

难度评级：800

小提示：

将三次付款与一次性费用相加

Add all three payments and the one-time charge

大提示：

用店内价格减去广告总价，再将美元换算为美分

Subtract the advertised total from the in-store price and convert dollars to cents

解答：

广告总价为 $3(29.98)+9.98=99.92$ 美元。节省的钱为 $99.99-99.92=0.07$ 美元，即 $7$ 美分。因此正确答案是 B。

The advertised total is $3(29.98)+9.98=99.92$ dollars. The savings is $99.99-99.92=0.07$ dollars, or $7$ cents. Thus the correct answer is B.

4.

若 $M$ 是 $30\%$ 与 $Q$ 的乘积， $Q$ 是 $20\%$ 与 $P$ 的乘积，且 $N$ 是 $50\%$ 与 $P$ 的乘积，则 $\frac{M}{N}=$

If $M$ is $30\%$ of $Q,$ $Q$ is $20\%$ of $P,$ and $N$ is $50\%$ of $P,$ then $\frac{M}{N}=$

$\frac3{250}$

$\frac3{25}$

$1$

$\frac65$

$\frac43$

答案：B

知识点：percentages ratios

难度评级：960

小提示：

将 $M$ 和 $N$ 都表示成 $P$ 的倍数

Express both $M$ and $N$ as multiples of $P$

大提示：

先把百分数化为分数，再求 $\frac{M}{N}$

Convert the percentages to fractions before forming $\frac{M}{N}$

解答：

有 $M=(0.30)(0.20)P=0.06P$ ，且 $N=0.50P$ 。因此 $\frac{M}{N}=\frac{0.06}{0.50}=\frac{3}{25}$ 。所以正确答案是 B。

We have $M=(0.30)(0.20)P=0.06P$ and $N=0.50P.$ Hence $\frac{M}{N}=\frac{0.06}{0.50}=\frac{3}{25}.$ Thus the correct answer is B.

5.

一块长方形田地宽 $300$ 英尺、长 $400$ 英尺。随机抽样表明，整块田地平均每平方英寸有三只蚂蚁。[ $12$ 英寸 = $1$ 英尺。] 下列哪个数最接近田地中的蚂蚁总数？

A rectangular field is $300$ feet wide and $400$ feet long. Random sampling indicates that there are, on the average, three ants per square inch throughout the field. [ $12$ inches = $1$ foot.] Of the following, the number that most closely approximates the number of ants in the field is

$500$ 千

$500$ thousand

$5$ 百万

$5$ million

$50$ 百万

$50$ million

$500$ 百万

$500$ million

$5$ 十亿

$5$ billion

答案：C

知识点：area conversion 估算

难度评级：1070

小提示：

先求田地的面积，以平方英尺为单位

First find the field’s area in square feet

大提示：

一平方英尺含有 $12^2$ 平方英寸

One square foot contains $12^2$ square inches

解答：

田地面积为 $300\cdot400=120{,}000$ 平方英尺，即 $120{,}000\cdot144=17{,}280{,}000$ 平方英寸。估计蚂蚁总数为 $3(17{,}280{,}000)=51{,}840{,}000$ ，最接近 $50$ 百万。因此正确答案是 C。

The area is $300\cdot400=120{,}000$ square feet, or $120{,}000\cdot144=17{,}280{,}000$ square inches. The estimate is $3(17{,}280{,}000)=51{,}840{,}000,$ closest to $50$ million. Thus the correct answer is C.

6.

图示展开图可以折成一个立方体。在折成的立方体中，哪个标有字母的面与标记为 $x$ 的面相对？

The figure shown can be folded into the shape of a cube. In the resulting cube, which of the lettered faces is opposite the face marked $x?$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

答案：C

知识点：cube nets spatial reasoning

难度评级：960

小提示：

固定面 $A$ ，将每个相邻正方形折起 $90^\circ$

Hold face $A$ fixed and fold each neighboring square by $90^\circ$

大提示：

沿展开图移动时，追踪每个面的外法线方向

Track the outward normal direction of each face as you move through the net

解答：

将 $A$ 固定为正面。折叠后， $x$ 成为左面， $B$ 成为上面。面 $C$ 与 $B$ 的右侧相连，随后折成右面，正好与 $x$ 相对。因此正确答案是 C。

Hold $A$ as the front face. Folding makes $x$ the left face and $B$ the top face. The face $C,$ attached to the right of $B,$ then folds to the right face, opposite $x.$ Thus the correct answer is C.

7.

地球赤道处的半径约为 $4000$ 英里。假设一架喷气式飞机相对地球以每小时 $500$ 英里的速度绕地球飞行一周，且飞行高度相对于赤道可以忽略不计。下列哪一个是飞行时数的最佳估计？

The radius of Earth at the equator is approximately $4000$ miles. Suppose a jet flies once around Earth at a speed of $500$ miles per hour relative to Earth. If the flight path is a negligible height above the equator, then, among the following choices, the best estimate of the number of hours of flight is

$8$

$25$

$50$

$75$

$100$

答案：C

知识点：圆周长速率

难度评级：1220

小提示：

用 $2\pi r$ 估算赤道的长度

Approximate the equator’s length with $2\pi r$

大提示：

用路程除以 $500$ ，并采用 $\pi$ 的简便近似值

Divide the trip distance by $500$ and use a simple estimate for $\pi$

解答：

赤道长约为 $2\pi(4000)=8000\pi$ 英里。飞行时间为 $\frac{8000\pi}{500}=16\pi\approx50$ 小时。因此正确答案是 C。

The equator is approximately $2\pi(4000)=8000\pi$ miles long. The flight time is $\frac{8000\pi}{500}=16\pi\approx50$ hours. Thus the correct answer is C.

8.

在三角形 $ABC$ 中， $\angle C=90^\circ$ ， $AC=6$ ， $BC=8$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别位于 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上，且 $\angle BED=90^\circ$ 。若 $DE=4$ ，则 $BD=$

In triangle $ABC,$ $\angle C=90^\circ,$ $AC=6$ and $BC=8.$ Points $D$ and $E$ are on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, and $\angle BED=90^\circ.$ If $DE=4,$ then $BD=$

$5$

$\frac{16}3$

$\frac{20}3$

$\frac{15}2$

$8$

答案：C

难度评级：1290

小提示：

两个直角说明 $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$

The two right angles show that $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$

大提示：

利用 $\triangle BDE$ 与 $\triangle BAC$ 相似

Use similarity between $\triangle BDE$ and $\triangle BAC$

解答：

大直角三角形中 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$ 。由于 $\overline{DE}\parallel\overline{AC}$ ，三角形 $BDE$ 与 $BAC$ 相似，相似比为 $\frac{DE}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ 。因此 $BD=(\frac{2}{3})(10)=\frac{20}{3}$ 。所以正确答案是 C。

The large right triangle has $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$ Since $\overline{DE}\parallel\overline{AC},$ triangles $BDE$ and $BAC$ are similar, with scale factor $\frac{DE}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$ Therefore $BD=(\frac{2}{3})(10)=\frac{20}{3}.$ Thus the correct answer is C.

9.

图形由一个正方形、它的两条对角线以及连接两组对边中点的线段组成。图中各种大小的三角形总数是

Consider the figure consisting of a square, its diagonals, and the segments joining the midpoints of opposite sides. The total number of triangles of any size in the figure is

$10$

$12$

$14$

$16$

$18$

答案：D

知识点：geometric counting 对称性

难度评级：1380

小提示：

先按大小分类，再数三角形

Separate the triangles by size before counting

大提示：

先数一个方向的三角形，再利用正方形的旋转对称性

Count one orientation and use the square’s rotational symmetry

解答：

最小的三角形有 $8$ 个，每个由半条边、半条对角线和半条中位线围成。以正方形的一整条边为底、中心为顶点的三角形有 $4$ 个；由对角线截出的半正方形三角形另有 $4$ 个。总数为 $8+4+4=16$ 。因此正确答案是 D。

There are $8$ smallest triangles, each bounded by a half-side, a half-diagonal, and a half-midline. There are $4$ triangles whose base is a full side and vertex is the center, and $4$ half-square triangles cut off by a diagonal. The total is $8+4+4=16.$ Thus the correct answer is D.

10.

直线 $y=x$ 、 $y=-x$ 和 $y=6$ 所围成三角形的面积是

The area of the triangle bounded by the lines $y=x,$ $y=-x$ and $y=6$ is

$12$

$12\sqrt2$

$24$

$24\sqrt2$

$36$

答案：E

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1100

小提示：

求两条斜线分别与 $y=6$ 的交点

Find where each slanted line meets $y=6$

大提示：

以 $y=6$ 上的水平线段作为三角形的底

Use the horizontal segment on $y=6$ as the triangle’s base

解答：

三个顶点是 $(0,0)$ 、 $(6,6)$ 和 $(-6,6)$ 。水平底边长为 $12$ ，高为 $6$ ，所以面积是 $\frac12(12)(6)=36$ 。因此正确答案是 E。

The vertices are $(0,0),$ $(6,6),$ and $(-6,6).$ The horizontal base has length $12,$ and the height is $6,$ so the area is $\frac12(12)(6)=36.$ Thus the correct answer is E.

11.

有多少个以 $10$ 为底的四位数 $N=\underline{a\,b\,c\,d}$ 同时满足以下三个条件？

(i) $4{,}000\le N\lt6{,}000$ ；

(ii) $N$ 是 $5$ 的倍数；

(iii) $3\le b\lt c\le6$ 。

How many base $10$ four-digit numbers, $N=\underline{a\,b\,c\,d},$ satisfy all three of the following conditions?

(i) $4{,}000\le N\lt6{,}000;$

(ii) $N$ is a multiple of $5;$

(iii) $3\le b\lt c\le6.$

$10$

$18$

$24$

$36$

$48$

答案：C

知识点：counting 整除性

难度评级：1600

小提示：

根据条件 (i) 和 (ii) 确定数字 $a$ 与 $d$ 的可能取值

Determine the possible digits $a$ and $d$ from conditions (i) and (ii)

大提示：

从 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 中选两个不同的数字，使 $b\lt c$

Choose two distinct digits from $3,$ $4,$ $5,$ $6$ for $b\lt c$

解答：

千位数字 $a$ 为 $4$ 或 $5$ ，而能被 $5$ 整除意味着 $d$ 为 $0$ 或 $5$ 。有序对 $(b,c)$ 是从 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 中选两个数字并按递增顺序排列，共有 $\binom42=6$ 种。因此总数为 $2\cdot2\cdot6=24$ ，正确答案是 C。

The thousands digit $a$ is $4$ or $5,$ and divisibility by $5$ makes $d$ either $0$ or $5.$ The pair $(b,c)$ is obtained by choosing two of $3,$ $4,$ $5,$ $6$ in increasing order, giving $\binom42=6$ pairs. Thus the count is $2\cdot2\cdot6=24,$ and the correct answer is C.

12.

设 $f$ 是线性函数，满足 $f(1)\le f(2)$ 、 $f(3)\ge f(4)$ ，且 $f(5)=5$ 。下列哪个陈述正确？

Let $f$ be a linear function with the properties that $f(1)\le f(2),$ $f(3)\ge f(4),$ and $f(5)=5.$ Which of the following statements is true?

$f(0)\lt0$

$f(0)=0$

$f(1)\lt f(0)\lt f(-1)$

$f(0)=5$

$f(0)\gt5$

答案：D

知识点：linear functions monotonicity

难度评级：1600

小提示：

将每个不等式转化为对斜率的限制

Translate each inequality into a condition on the slope

大提示：

两个斜率条件合起来可以确定整个线性函数

The two slope conditions together determine the entire linear function

解答：

由 $f(1)\le f(2)$ 可知斜率非负；由 $f(3)\ge f(4)$ 可知斜率非正。因此斜率为 $0$ ，所以 $f$ 是常函数。由于 $f(5)=5$ ，有 $f(0)=5$ 。因此正确答案是 D。

From $f(1)\le f(2),$ the slope is nonnegative. From $f(3)\ge f(4),$ it is nonpositive. Thus the slope is $0,$ so $f$ is constant. Since $f(5)=5,$ we have $f(0)=5.$ Thus the correct answer is D.

13.

下面的加法不正确。把某个数字 $d$ 在每次出现时都改成另一个数字 $e$ ，便可使算式正确。求 $d$ 与 $e$ 的和。

$\begin{array}{rrrrrrr}&7&4&2&5&8&6\\+&8&2&9&4&3&0\\\hline1&2&1&2&0&1&6\end{array}$

The addition below is incorrect. The display can be made correct by changing one digit $d,$ wherever it occurs, to another digit $e.$ Find the sum of $d$ and $e.$

$\begin{array}{rrrrrrr}&7&4&2&5&8&6\\+&8&2&9&4&3&0\\\hline1&2&1&2&0&1&6\end{array}$

$4$

$6$

$8$

$10$

大于 $10$

more than $10$

答案：C

知识点：column addition 数字

难度评级：1630

小提示：

从右向左相加，并记录每一次进位

Add from right to left and track each carry

大提示：

注意 $d$ 每次出现时都必须作同样的替换

Remember that the same replacement must be made at every occurrence of $d$

解答：

个位、十位和百位的运算成立，对应的进位依次为 $0$ 、 $1$ 、 $1$ 。在千位上，把每个 $2$ 都改为 $6$ ，便有 $6+9+1=16$ ，结果中的该位也正好是 $6$ 。接下来的两列分别给出 $4+6+1=11$ 和 $7+8+1=16$ ，得到正确算式 $746586+869430=1616016$ 。因此 $d+e=2+6=8$ ，正确答案是 C。

The units, tens, and hundreds columns work with carries $0,$ $1,$ $1.$ In the thousands column, replacing every $2$ by $6$ gives $6+9+1=16,$ so the result digit is also $6.$ The next columns then give $4+6+1=11$ and $7+8+1=16,$ producing the corrected equation $746586+869430=1616016.$ Thus $d+e=2+6=8,$ and the correct answer is C.

14.

若 $f(x)=ax^4-bx^2+x+5$ ，且 $f(-3)=2$ ，则 $f(3)=$

If $f(x)=ax^4-bx^2+x+5$ and $f(-3)=2,$ then $f(3)=$

$-5$

$-2$

$1$

$3$

$8$

答案：E

知识点：even and odd powers functions

难度评级：1020

小提示：

把 $x$ 替换为 $-x$ 时，含偶次幂的各项保持不变

The terms with even powers are unchanged when $x$ is replaced by $-x$

大提示：

直接比较 $f(3)$ 与 $f(-3)$ ，不必求出 $a$ 或 $b$

Compare $f(3)$ and $f(-3)$ without solving for $a$ or $b$

解答：

当自变量分别为 $3$ 与 $-3$ 时，偶次幂项和常数项相同，而一次项由 $-3$ 变为 $3$ 。因此 $f(3)-f(-3)=6$ ，所以 $f(3)=2+6=8$ 。正确答案是 E。

The even-power terms and constant are the same at $3$ and $-3,$ while the linear term changes from $-3$ to $3.$ Hence $f(3)-f(-3)=6,$ so $f(3)=2+6=8.$ Thus the correct answer is E.

15.

圆周上的五个点按顺时针方向编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 。一只虫子沿顺时针方向从一个点跳到另一个点：若它位于奇数编号的点，就向前跳一个点；若位于偶数编号的点，就向前跳两个点。若虫子从点 $5$ 出发，跳 $1995$ 次后将位于点

Five points on a circle are numbered $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ in clockwise order. A bug jumps in a clockwise direction from one point to another around the circle; if it is on an odd-numbered point, it moves one point, and if it is on an even-numbered point, it moves two points. If the bug begins on point $5,$ after $1995$ jumps it will be on point

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：cycles 模运算

难度评级：1470

小提示：

写出前几次跳跃的落点

Write down the landing points for the first few jumps

大提示：

一旦某个点再次出现，就将剩余跳跃次数对循环长度取模

Once a point repeats, reduce the remaining number of jumps modulo the cycle length

解答：

从 $5$ 出发，依次落在 $1,2,4,1,2,4,\ldots$ 。因此循环 $1,2,4$ 的长度为 $3$ 。由于 $1995$ 能被 $3$ 整除，第 $1995$ 次的落点是 $4$ 。所以正确答案是 D。

Starting at $5,$ the landing points are $1,2,4,1,2,4,\ldots$ Thus the cycle $1,2,4$ has length $3.$ Since $1995$ is divisible by $3,$ the $1995$ th landing point is $4.$ Thus the correct answer is D.

16.

安妮塔在亚特兰大观看一场棒球比赛，估计有 $50{,}000$ 名观众。鲍勃在波士顿观看一场棒球比赛，估计有 $60{,}000$ 名观众。一位知道两场比赛实际观众人数的联盟官员指出：

i. 亚特兰大的实际观众人数与安妮塔估计值的误差不超过该估计值的 $10\%$ 。

ii. 鲍勃的估计值与波士顿实际观众人数的误差不超过实际人数的 $10\%$ 。

将结果四舍五入到最接近的 $1{,}000$ ，两场比赛观众人数之差的最大可能值是

Anita attends a baseball game in Atlanta and estimates that there are $50{,}000$ fans in attendance. Bob attends a baseball game in Boston and estimates that there are $60{,}000$ fans in attendance. A league official who knows the actual numbers attending the two games notes that:

i. The actual attendance in Atlanta is within $10\%$ of Anita’s estimate.

ii. Bob’s estimate is within $10\%$ of the actual attendance in Boston.

To the nearest $1{,}000,$ the largest possible difference between the numbers attending the two games is

$10{,}000$

$11{,}000$

$20{,}000$

$21{,}000$

$22{,}000$

答案：E

知识点：percent error inequalities

难度评级：1740

小提示：

两个陈述中的 $10\%$ 分别是以不同的量为基准

In the two statements, the $10\%$ is taken of different quantities

大提示：

求出两个观众人数区间，再用较大的上端点减去较小的下端点

Find both attendance intervals, then maximize the larger endpoint minus the smaller endpoint

解答：

亚特兰大的实际观众人数 $A$ 满足 $45{,}000\le A\le55{,}000$ 。对波士顿的实际观众人数 $B$ ，条件为 $|60{,}000-B|\le0.1B$ ，所以 $\frac{60{,}000}{1.1}\le B\le\frac{60{,}000}{0.9}$ 。因此最大差值为 $\frac{60{,}000}{0.9}-45{,}000 =21{,}666.\overline6\text{，}$ 四舍五入后为 $22{,}000$ 。所以正确答案是 E。

Atlanta’s actual attendance $A$ satisfies $45{,}000\le A\le55{,}000.$ For Boston’s actual attendance $B,$ the condition is $|60{,}000-B|\le0.1B,$ so $\frac{60{,}000}{1.1}\le B\le\frac{60{,}000}{0.9}.$ The largest difference is therefore $\frac{60{,}000}{0.9}-45{,}000 =21{,}666.\overline6,$ which rounds to $22{,}000.$ Thus the correct answer is E.

17.

给定正五边形 $ABCDE$ ，可以作一个圆，使其与 $\overline{DC}$ 相切于 $D$ ，并与 $\overline{AB}$ 相切于 $A$ 。小弧 $\overset{\frown}{AD}$ 的度数是

Given regular pentagon $ABCDE,$ a circle can be drawn that is tangent to $\overline{DC}$ at $D$ and to $\overline{AB}$ at $A.$ The number of degrees in minor arc $\overset{\frown}{AD}$ is

$72$

$108$

$120$

$135$

$144$

答案：E

知识点：regular polygons tangents central angles

难度评级：1780

小提示：

通向 $A$ 和 $D$ 的半径分别垂直于对应的切边

The radii to $A$ and $D$ are perpendicular to the tangent sides

大提示：

利用正五边形的 $72^\circ$ 外角比较 $\overline{AB}$ 与 $\overline{DC}$ 的方向

Use the $72^\circ$ exterior angle of a regular pentagon to compare $\overline{AB}$ and $\overline{DC}$

解答：

设 $O$ 为圆心。沿五边形经过每个顶点时，方向改变 $72^\circ$ ，所以直线 $AB$ 与 $DC$ 的锐角夹角为 $36^\circ$ 。通向两个切点的半径分别垂直于这两条直线；对图示圆而言，小圆心角 $\angle AOD$ 是其补角 $180^\circ-36^\circ=144^\circ$ 。因此小弧 $\overset{\frown}{AD}$ 的度数为 $144^\circ$ ，正确答案是 E。

Let $O$ be the circle’s center. The direction changes by $72^\circ$ at each vertex of the pentagon, so the acute angle between lines $AB$ and $DC$ is $36^\circ.$ The radii to their tangency points are perpendicular to these lines; for the circle shown, the minor central angle $\angle AOD$ is the supplementary angle $180^\circ-36^\circ=144^\circ.$ Therefore minor arc $\overset{\frown}{AD}$ measures $144^\circ,$ and the correct answer is E.

18.

两条以 $O$ 为公共端点的射线组成一个 $30^\circ$ 角。点 $A$ 位于一条射线上，点 $B$ 位于另一条射线上，且 $AB=1$ 。 $OB$ 的最大可能长度是

Two rays with common endpoint $O$ form a $30^\circ$ angle. Point $A$ lies on one ray, point $B$ on the other ray, and $AB=1.$ The maximum possible length of $OB$ is

$1$

$\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}$

$\sqrt3$

$2$

$\frac4{\sqrt3}$

答案：D

知识点：余弦定理 discriminant

难度评级：1700

小提示：

对 $\triangle AOB$ 应用余弦定理

Apply the Law of Cosines to $\triangle AOB$

大提示：

将所得关系式看作关于 $OA$ 的二次方程，并要求它有实数解

Treat the resulting relation as a quadratic in $OA$ and require a real solution

解答：

设 $OA=x$ ， $OB=y$ 。由余弦定理得 $1=x^2+y^2-\sqrt3xy\text{。}$ 把它看作关于 $x$ 的二次方程，其判别式为 $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2$ 。要使 $x$ 为实数，必须有 $y\le2$ ；当 $x=\sqrt3$ 时可以取到等号。因此最大值为 $2$ ，正确答案是 D。

Let $OA=x$ and $OB=y.$ The Law of Cosines gives $1=x^2+y^2-\sqrt3xy.$ As a quadratic in $x,$ this has discriminant $3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.$ A real $x$ requires $y\le2,$ and equality is attained when $x=\sqrt3.$ Hence the maximum is $2,$ and the correct answer is D.

19.

如图，等边三角形 $DEF$ 内接于等边三角形 $ABC$ ，且 $\overline{DE}\perp\overline{BC}$ 。 $\triangle DEF$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是

Equilateral triangle $DEF$ is inscribed in equilateral triangle $ABC$ as shown with $\overline{DE}\perp\overline{BC}.$ The ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of $\triangle ABC$ is

$\frac16$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac25$

$\frac12$

答案：C

知识点：equilateral triangles coordinates area ratios

难度评级：1740

小提示：

设外部三角形边长为 $1$ ，内部三角形边长为 $s$

Let the outer triangle have side $1$ and the inner triangle have side $s$

大提示：

利用边与水平方向成 $60^\circ$ 以及 $\overline{DE}$ 竖直这两个事实

Use the $60^\circ$ side slopes together with the fact that $\overline{DE}$ is vertical

解答：

令 $ABC$ 的边长为 $1$ ，并取 $B=(0,0)$ 、 $C=(1,0)$ 。若内部三角形边长为 $s$ ，设 $D=(d,0)$ 、 $E=(d,s)$ 。由于 $E$ 位于 $AC$ 上，有 $s=\sqrt3(1-d)$ 。内部三角形的第三个顶点为 $F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s)$ ，而 $F$ 位于 $AB$ 上，所以 $\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right)\text{，}$ 从而 $d=\frac{2s}{\sqrt3}$ 。代入可得 $s=\frac{1}{\sqrt3}$ 。等边三角形的面积比等于边长比的平方，因此所求比为 $s^2=\frac{1}{3}$ 。所以正确答案是 C。

Let $ABC$ have side $1,$ with $B=(0,0)$ and $C=(1,0).$ If the inner side is $s,$ write $D=(d,0)$ and $E=(d,s).$ Since $E$ lies on $AC,$ $s=\sqrt3(1-d).$ The third inner vertex is $F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s),$ and $F$ lies on $AB,$ so $\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right),$ giving $d=\frac{2s}{\sqrt3}.$ Substitution yields $s=\frac{1}{\sqrt3}.$ Areas of equilateral triangles scale as the square of their sides, so the ratio is $s^2=\frac{1}{3}.$ Thus the correct answer is C.

20.

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是从集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中有放回地随机选取的三个数（不一定互不相同），则 $ab+c$ 为偶数的概率是

If $a,$ $b$ and $c$ are three (not necessarily different) numbers chosen randomly and with replacement from the set $\{1,2,3,4,5\},$ the probability that $ab+c$ is even is

$\frac25$

$\frac{59}{125}$

$\frac12$

$\frac{64}{125}$

$\frac35$

答案：B

知识点：奇偶性 probability

难度评级：1810

小提示：

当 $ab$ 与 $c$ 奇偶性相同时，它们的和为偶数

The sum is even when $ab$ and $c$ have the same parity

大提示：

只有当所选两个因数都是奇数时，乘积 $ab$ 才是奇数

The product $ab$ is odd only when both selected factors are odd

解答：

可选的奇数有 $3$ 个，偶数有 $2$ 个。乘积 $ab$ 为奇数的概率是 $\frac{9}{25}$ ，为偶数的概率是 $\frac{16}{25}$ 。因此 $\begin{aligned} P(ab+c\text{ 为偶数}) &=\frac9{25}\cdot\frac35\\ &\quad{}+\frac{16}{25}\cdot\frac25\\ &=\frac{59}{125} \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 B。

There are $3$ odd and $2$ even choices. The product $ab$ is odd with probability $\frac{9}{25}$ and even with probability $\frac{16}{25}.$ Therefore $\begin{aligned} P(ab+c\text{ even}) &=\frac9{25}\cdot\frac35\\ &\quad{}+\frac{16}{25}\cdot\frac25\\ &=\frac{59}{125}. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

21.

一个长方形的两个不相邻顶点为 $(4,3)$ 和 $(-4,-3)$ ，另外两个顶点的坐标均为整数。这样的长方形有多少个？

Two nonadjacent vertices of a rectangle are $(4,3)$ and $(-4,-3),$ and the coordinates of the other two vertices are integers. The number of such rectangles is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：E

知识点：rectangles lattice points diagonals

难度评级：2280

小提示：

长方形的两条对角线长度相等且中点相同

A rectangle’s diagonals have equal length and the same midpoint

大提示：

列出从原点出发、长度为 $5$ 的整数向量，并把互为反向的向量配对

Enumerate integer vectors of length $5$ from the origin, identifying antipodal pairs

解答：

已知对角线的中点是 $(0,0)$ ，半长为 $5$ 。因此另一条对角线的端点必须是 $(u,v)$ 和 $(-u,-v)$ ，其中 $u^2+v^2=25$ 。反过来，中点相同且长度相等的两条对角线构成一个长方形。这个圆上共有 $12$ 个整数点： $\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3) \end{gathered}\text{。}$ 一对对径点确定同一条对角线，因此有 $6$ 种可能。其中一种就是已知对角线本身，会产生退化图形，所以还剩 $6-1=5$ 个长方形。因此正确答案是 E。

The given diagonal has midpoint $(0,0)$ and half-length $5.$ The other diagonal must therefore have endpoints $(u,v)$ and $(-u,-v)$ with $u^2+v^2=25.$ Conversely, two equal diagonals with the same midpoint form a rectangle. There are $12$ integer points on this circle: $\begin{gathered} (\pm5,0),(0,\pm5),\\ (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3). \end{gathered}$ Antipodal points determine the same diagonal, giving $6$ possibilities. One is the given diagonal itself, which is degenerate, so $6-1=5$ rectangles remain. Thus the correct answer is E.

22.

从一张长方形纸上剪去一个三角形角，形成一个五边形。五边形的五条边长为 $13$ 、 $19$ 、 $20$ 、 $25$ 、 $31$ ，但这不一定是它们沿五边形周界的顺序。五边形的面积是

A pentagon is formed by cutting a triangular corner from a rectangular piece of paper. The five sides of the pentagon have lengths $13,$ $19,$ $20,$ $25$ and $31,$ although this is not necessarily their order around the pentagon. The area of the pentagon is

$459$

$600$

$680$

$720$

$745$

答案：E

知识点：rectangles Pythagorean theorem area subtraction

难度评级：1910

小提示：

五边形的两条边就是原长方形的两条完整边长

Two pentagon sides are the original rectangle’s full side lengths

大提示：

在这些长度中寻找两个差，使它们与另一个给定长度构成直角三角形

Look for two differences among the lengths that form the legs of a right triangle with a third listed length

解答：

长方形的完整边长必须大于同一边上剪后剩余部分的长度。唯一能使两个差与剩下的切边构成直角三角形的安排，是边长为 $25$ 和 $31$ 的长方形，对应剩余长度为 $20$ 和 $19$ 。被剪去的角所成直角三角形的两条直角边为 $25-20=5$ 和 $31-19=12$ ，斜边正好是给定边长 $13$ 。因此五边形面积为 $\begin{aligned} 25\cdot31-\frac12(5)(12) &=775-30\\ &=745 \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 E。

The full rectangle sides must be longer than the two remnants on those same sides. The only assignment whose two differences and remaining cut side form a right triangle is the rectangle $25$ by $31,$ with remnants $20$ and $19.$ The removed corner then has legs $25-20=5$ and $31-19=12,$ whose hypotenuse is the listed side $13.$ Thus the pentagon’s area is $\begin{aligned} 25\cdot31-\frac12(5)(12) &=775-30\\ &=745. \end{aligned}$ Hence the correct answer is E.

23.

一个三角形的三边长为 $11$ 、 $15$ 、 $k$ ，其中 $k$ 是整数。有多少个 $k$ 值能使该三角形为钝角三角形？

The sides of a triangle have lengths $11,$ $15,$ and $k,$ where $k$ is an integer. For how many values of $k$ is the triangle obtuse?

$5$

$7$

$12$

$13$

$14$

答案：D

知识点：三角不等式 obtuse triangles

难度评级：2060

小提示：

先用三角形不等式确定整数 $k$ 的范围

First use the triangle inequality to bound the integer $k$

大提示：

分别在 $15$ 为最长边和 $k$ 为最长边时检验钝角条件

Test the obtuse inequality separately when $15$ is longest and when $k$ is longest

解答：

由三角形不等式得 $5\le k\le25$ 。当 $k\le15$ 时，最长边为 $15$ ，三角形为钝角三角形的条件是 $15^2\gt11^2+k^2\text{，}$ 从而 $5\le k\le10$ ，共有 $6$ 个值。当 $k\gt15$ 时，钝角条件为 $k^2\gt11^2+15^2=346$ ，得到 $19\le k\le25$ ，共有 $7$ 个值。总数为 $6+7=13$ ，所以正确答案是 D。

The triangle inequality gives $5\le k\le25.$ For $k\le15,$ the longest side is $15,$ and the triangle is obtuse when $15^2\gt11^2+k^2,$ which gives $5\le k\le10,$ or $6$ values. For $k\gt15,$ it is obtuse when $k^2\gt11^2+15^2=346,$ giving $19\le k\le25,$ or $7$ values. The total is $6+7=13,$ so the correct answer is D.

24.

存在正整数 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，它们没有大于 $1$ 的公因数，并且 $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C\text{。}$ 求 $A+B+C$ 。

There exist positive integers $A,$ $B,$ and $C,$ with no common factor greater than $1,$ such that $A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.$ What is $A+B+C?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：A

知识点：logarithms 质因数分解

难度评级：1900

小提示：

将左边合并为一个对数

Combine the left side into one logarithm

大提示：

利用 $200=2^3\cdot5^2$ ，并比较各质因数的指数

Use $200=2^3\cdot5^2$ and compare prime exponents

解答：

合并对数得 $\log_{200}(5^A2^B)=C\text{，}$ 所以 $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}$ 。因此 $A=2C$ ，且 $B=3C$ 。没有公因数的正整数三元组为 $(A,B,C)=(2,3,1)$ ，其和为 $6$ 。所以正确答案是 A。

Combining logarithms gives $\log_{200}(5^A2^B)=C,$ so $5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.$ Hence $A=2C$ and $B=3C.$ The relatively prime positive triple is $(A,B,C)=(2,3,1),$ whose sum is $6.$ Thus the correct answer is A.

25.

一个由五个正整数组成的数列，平均数为 $12$ ，极差为 $18$ ，众数和中位数都为 $8$ 。数列中第二大元素可能有多少个不同的值？

A list of five positive integers has mean $12$ and range $18.$ The mode and median are both $8.$ How many different values are possible for the second largest element of the list?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

答案：B

知识点：平均数 median 众数 integer cases

难度评级：2070

小提示：

将五个整数排序；中位数和众数条件迫使至少两个数等于 $8$

Sort the five integers; the median and mode force at least two entries to equal $8$

大提示：

设最小元素为 $m$ ，利用极差和总和表示第二大元素

Let the smallest entry be $m$ and use the range and total sum to express the second largest entry

解答：

将排序后的数列写成 $m,8,8,d,m+18$ 。（若第四个数也是 $8$ ，总和与排序条件将无法同时满足。）由于总和为 $5(12)=60$ ，有 $m+8+8+d+(m+18)=60\text{，}$ 所以 $d=26-2m$ 。条件 $8\le d\le m+18$ 和 $m\le8$ 给出 $3\le m\le8$ 。这六个取值分别得到 $d=20$ 、 $18$ 、 $16$ 、 $14$ 、 $12$ 、 $10$ ，均有效。因此共有 $6$ 种可能，正确答案是 B。

Write the sorted list as $m,8,8,d,m+18.$ (If the fourth entry were $8,$ the sum and ordering conditions would be impossible.) Since the total is $5(12)=60,$ $m+8+8+d+(m+18)=60,$ so $d=26-2m.$ The conditions $8\le d\le m+18$ and $m\le8$ give $3\le m\le8.$ These six values yield $d=20,$ $18,$ $16,$ $14,$ $12,$ $10,$ all valid. Thus there are $6$ possibilities, and the correct answer is B.

26.

如图， $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 是圆心为 $O$ 的圆的直径， $\overline{AB}\perp\overline{CD}$ ，弦 $\overline{DF}$ 与 $\overline{AB}$ 相交于 $E$ 。若 $DE=6$ ，且 $EF=2$ ，则圆的面积是

In the figure, $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are diameters of the circle with center $O,$ $\overline{AB}\perp\overline{CD},$ and chord $\overline{DF}$ intersects $\overline{AB}$ at $E.$ If $DE=6$ and $EF=2,$ then the area of the circle is

$23\pi$

$\frac{47}2\pi$

$24\pi$

$\frac{49}2\pi$

$25\pi$

答案：C

知识点：intersecting chords coordinates circles

难度评级：2170

小提示：

由相交弦定理可得 $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

Intersecting chords gives $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

大提示：

将 $O$ 置于原点并表示 $F$ ；利用 $E$ 将 $\overline{DF}$ 按 $3:1$ 分割这一事实

Place $O$ at the origin and express $F$ using the fact that $E$ divides $\overline{DF}$ in a $3:1$ ratio

解答：

设半径为 $r$ ，且 $OE=x$ 。由相交弦定理得 $(r+x)(r-x)=6\cdot2\text{，}$ 所以 $r^2-x^2=12$ 。取 $O=(0,0)$ 、 $D=(0,-r)$ 、 $E=(x,0)$ 。由于 $DE:EF=3:1$ ，有 $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right) \end{aligned}\text{。}$ 因为 $F$ 在圆上， $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2$ ，所以 $r^2=2x^2$ 。因此 $x^2=12$ ，且 $r^2=24$ 。圆的面积为 $24\pi$ ，所以正确答案是 C。

Let the radius be $r$ and $OE=x.$ Intersecting chords gives $(r+x)(r-x)=6\cdot2,$ so $r^2-x^2=12.$ Put $O=(0,0),$ $D=(0,-r),$ and $E=(x,0).$ Since $DE:EF=3:1,$ $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}$ Because $F$ lies on the circle, $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,$ so $r^2=2x^2.$ Therefore $x^2=12$ and $r^2=24.$ The area is $24\pi,$ so the correct answer is C.

27.

考察如下三角形数阵：两侧依次为 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ ，内部每个数等于上一行相邻两个数之和。图中给出了第 $1$ 行到第 $6$ 行。

$\begin{array}{cccccc} &&0&&&\\ &&1&1&&\\ &2&2&2&&\\ &3&4&4&3&\\ 4&7&8&7&4&\\ 5&11&15&15&11&5 \end{array}$

设 $f(n)$ 表示第 $n$ 行各数之和。 $f(100)$ 除以 $100$ 的余数是多少？

Consider the triangular array of numbers with $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ along the sides and interior numbers obtained by adding the two adjacent numbers in the previous row. Rows $1$ through $6$ are shown.

$\begin{array}{cccccc} &&0&&&\\ &&1&1&&\\ &2&2&2&&\\ &3&4&4&3&\\ 4&7&8&7&4&\\ 5&11&15&15&11&5 \end{array}$

Let $f(n)$ denote the sum of the numbers in row $n.$ What is the remainder when $f(100)$ is divided by $100?$

$12$

$30$

$50$

$62$

$74$

答案：E

知识点：recurrences 模运算

难度评级：2170

小提示：

通过统计上一行每个数在下一行中被计入的次数，建立相邻两行行和的关系

Relate a row’s sum to the previous row’s sum by counting how often each old entry contributes

大提示：

解所得递推式，再计算 $2$ 的幂对 $100$ 的余数

Solve the resulting recurrence, then compute the power of $2$ modulo $100$

解答：

上一行的每个数都会贡献给下一行的两个数，而新出现的两个边界数又额外贡献 $2$ 。因此 $f(n)=2f(n-1)+2$ ，且 $f(1)=0$ 。所以 $f(n)=2^n-2\text{。}$ 由于 $2^{20}\equiv76\pmod{100}$ ，且 $76^2\equiv76\pmod{100}$ ，可得 $2^{100}\equiv76\pmod{100}$ 。因此 $f(100)\equiv74\pmod{100}$ ，正确答案是 E。

Every previous entry contributes to two entries of the next row, and the two new boundary entries contribute an additional $2.$ Thus $f(n)=2f(n-1)+2,$ with $f(1)=0.$ Hence $f(n)=2^n-2.$ Since $2^{20}\equiv76\pmod{100}$ and $76^2\equiv76\pmod{100},$ we have $2^{100}\equiv76\pmod{100}.$ Therefore $f(100)\equiv74\pmod{100},$ and the correct answer is E.

28.

圆内两条平行弦的长度分别为 $10$ 和 $14$ ，它们之间的距离为 $6$ 。另有一条弦与它们平行，并且位于它们正中间，其长度为 $\sqrt a$ 。则 $a$ 是

Two parallel chords in a circle have lengths $10$ and $14,$ and the distance between them is $6.$ The chord parallel to these chords and midway between them is of length $\sqrt a,$ where $a$ is

$144$

$156$

$168$

$176$

$184$

答案：E

知识点：circle chords 坐标几何

难度评级：2290

小提示：

若一条弦到圆心的有向距离为 $y$ ，其半弦长满足 $h^2+y^2=r^2$

If a chord is at signed distance $y$ from the center, its half-length satisfies $h^2+y^2=r^2$

大提示：

设长为 $14$ 与 $10$ 的两条弦到圆心的有向距离相差 $6$ ，再将两式相减

Let the signed distances of the $14$ - and $10$ -chords differ by $6$ , and subtract their equations

解答：

设圆心到长为 $14$ 和 $10$ 的弦的有向距离分别为 $u$ 和 $v$ ，且 $u-v=6$ 。则 $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2\text{。}$ 因此 $v^2-u^2=24$ ，所以 $(v-u)(v+u)=24$ 。由于 $v-u=-6$ ，可得 $u+v=-4$ ，进而 $u=1$ ，且 $v=-5$ 。中间那条弦的有向距离为 $-2$ ，而 $r^2=49+1=50$ 。它的长度平方为 $4(50-4)=184$ ，所以 $a=184$ 。因此正确答案是 E。

Let the signed distances from the center to the $14$ - and $10$ -chords be $u$ and $v,$ with $u-v=6.$ Then $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.$ Hence $v^2-u^2=24,$ so $(v-u)(v+u)=24.$ Since $v-u=-6,$ we get $u+v=-4,$ and therefore $u=1$ and $v=-5.$ The midway chord is at signed distance $-2,$ while $r^2=49+1=50.$ Its squared length is $4(50-4)=184,$ so $a=184.$ Thus the correct answer is E.

29.

有多少个由三个正整数组成的集合 $\{a,b,c\}$ 满足 $a\cdot b\cdot c=2310$ ？

For how many three-element sets of positive integers $\{a,b,c\}$ is it true that $a\cdot b\cdot c=2310?$

$32$

$36$

$40$

$43$

$45$

答案：C

知识点：质因数分解 set partitions

难度评级：2280

小提示：

将 $2310$ 分解为互不相同的质因数，并把每个质因数分配给一个因数

Factor $2310$ into distinct primes and assign each prime to one of the factors

大提示：

分别统计一个因数为 $1$ 以及三个因数都大于 $1$ 的情形

Count separately the cases in which one factor is $1$ and in which all three factors exceed $1$

解答：

因为 $2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11$ ，每个质因数恰好属于三个因数中的一个。若三个因数都大于 $1$ ，它们对应的无序质因数组就是把五个对象分成三个非空组，其数量为 $S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25\text{。}$ 若有一个因数为 $1$ ，则把这些质因数分成两个非空组，得到 $S(5,2)=2^4-1=15$ 。由于互不相交的质因数集合不同，所得因数也互不相同。因此总数为 $25+15=40$ ，正确答案是 C。

Since $2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11,$ each prime belongs to exactly one of the three factors. If all factors exceed $1,$ their unordered prime groups form a partition of five objects into three nonempty blocks, counted by $S(5,3)=\frac{3^5-3\cdot2^5+3}{6}=25.$ If one factor is $1,$ the primes are partitioned into two nonempty blocks, giving $S(5,2)=2^4-1=15.$ The factors are distinct because their disjoint prime sets differ. Thus the total is $25+15=40,$ and the correct answer is C.

30.

将 $27$ 个单位立方体堆成一个大立方体。一个平面垂直于大立方体的一条体对角线，并平分该对角线。这个平面与多少个单位立方体相交？

A large cube is formed by stacking $27$ unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

答案：D

知识点：three-dimensional coordinates 生成函数

难度评级：2330

小提示：

将大立方体表示为 $[0,3]^3$ ，写出经过其中心且垂直于体对角线的平面方程

Model the large cube as $[0,3]^3$ and write the plane through its center perpendicular to the diagonal

大提示：

用每个单位立方体中 $x+y+z$ 的最小值为其编号，并判断哪些编号能使平面相交

Index each unit cube by its minimum value of $x+y+z$ and determine which index sums allow an intersection

解答：

将大立方体取为 $[0,3]^3$ 。所求平面为 $x+y+z=\frac{9}{2}$ 。一个下方顶点为 $(i,j,k)$ 的单位立方体，其中 $i,j,k\in\{0,1,2\}$ ，其内部 $x+y+z$ 的取值从 $s=i+j+k$ 到 $s+3$ 。它与该平面相交，当且仅当 $s=2$ 、 $s=3$ 或 $s=4$ 。在 $(1+x+x^2)^3$ 中， $x^2$ 、 $x^3$ 、 $x^4$ 的系数分别为 $6$ 、 $7$ 、 $6$ 。因此该平面与 $6+7+6=19$ 个单位立方体相交，正确答案是 D。

Take the large cube as $[0,3]^3.$ The plane is $x+y+z=\frac{9}{2}.$ A unit cube with lower corner $(i,j,k),$ where $i,j,k\in\{0,1,2\},$ contains values of $x+y+z$ from $s=i+j+k$ to $s+3.$ It intersects the plane exactly when $s=2,$ $s=3,$ or $s=4.$ The coefficients of $x^2,$ $x^3,$ $x^4$ in $(1+x+x^2)^3$ are $6,$ $7,$ $6.$ Thus the plane intersects $6+7+6=19$ unit cubes, and the correct answer is D.