Question

如图，等边三角形 $DEF$ 内接于等边三角形 $ABC$ ，且 $\overline{DE}\perp\overline{BC}$ 。 $\triangle DEF$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是

Equilateral triangle $DEF$ is inscribed in equilateral triangle $ABC$ as shown with $\overline{DE}\perp\overline{BC}.$ The ratio of the area of $\triangle DEF$ to the area of $\triangle ABC$ is

$\frac16$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac25$

$\frac12$

答案：C

知识点：equilateral triangles coordinates area ratios

难度评级：1740

小提示：

设外部三角形边长为 $1$ ，内部三角形边长为 $s$

Let the outer triangle have side $1$ and the inner triangle have side $s$

大提示：

利用边与水平方向成 $60^\circ$ 以及 $\overline{DE}$ 竖直这两个事实

Use the $60^\circ$ side slopes together with the fact that $\overline{DE}$ is vertical

解答：

令 $ABC$ 的边长为 $1$ ，并取 $B=(0,0)$ 、 $C=(1,0)$ 。若内部三角形边长为 $s$ ，设 $D=(d,0)$ 、 $E=(d,s)$ 。由于 $E$ 位于 $AC$ 上，有 $s=\sqrt3(1-d)$ 。内部三角形的第三个顶点为 $F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s)$ ，而 $F$ 位于 $AB$ 上，所以 $\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right)\text{，}$ 从而 $d=\frac{2s}{\sqrt3}$ 。代入可得 $s=\frac{1}{\sqrt3}$ 。等边三角形的面积比等于边长比的平方，因此所求比为 $s^2=\frac{1}{3}$ 。所以正确答案是 C。

Let $ABC$ have side $1,$ with $B=(0,0)$ and $C=(1,0).$ If the inner side is $s,$ write $D=(d,0)$ and $E=(d,s).$ Since $E$ lies on $AC,$ $s=\sqrt3(1-d).$ The third inner vertex is $F=(d-\frac{\sqrt3}{2}s,\frac12s),$ and $F$ lies on $AB,$ so $\frac{s}{2}=\sqrt3\left(d-\frac{\sqrt3}{2}s\right),$ giving $d=\frac{2s}{\sqrt3}.$ Substitution yields $s=\frac{1}{\sqrt3}.$ Areas of equilateral triangles scale as the square of their sides, so the ratio is $s^2=\frac{1}{3}.$ Thus the correct answer is C.

1995 AMC 12 第 19 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题