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1991 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

三角形 ABCABC 在 CC 处为直角，且 AC=3AC=3、BC=4BC=4。三角形 ABDABD 在 AA 处为直角，且 AD=12AD=12。点 CC 和 DD 位于 ABAB 的两侧。过 DD 且平行于 ACAC 的直线与 CBCB 的延长线交于 EE。若 DEDB=mn， \frac{DE}{DB}=\frac mn\text{，}其中 mm 和 nn 是互质的正整数，则 m+n=m+n=

Triangle ABCABC has a right angle at C,C, AC=3,AC=3, and BC=4.BC=4. Triangle ABDABD has a right angle at AA and AD=12.AD=12. Points CC and DD are on opposite sides of AB.AB. The line through DD parallel to ACAC meets CBCB extended at E.E. If DEDB=mn, \frac{DE}{DB}=\frac mn, where mm and nn are relatively prime positive integers, then m+n=m+n=

2525

128128

153153

243243

256256

答案：B
知识点：坐标几何perpendicular vectorsdistance
难度评级：2110
小提示：

设 C=(0,0)C=(0,0)、A=(0,3)A=(0,3)、B=(4,0)B=(4,0)

Place C=(0,0),C=(0,0), A=(0,3),A=(0,3), and B=(4,0)B=(4,0)

大提示：

求 DD 时，使用一条长度为 1212 且垂直于 AB→\overrightarrow{AB} 的向量

Find DD by using a length-1212 vector perpendicular to AB→\overrightarrow{AB}

解答：

设 C=(0,0)C=(0,0)、A=(0,3)A=(0,3)、B=(4,0)B=(4,0)。由于 AB→=(4,−3)\overrightarrow{AB}=(4,-3)，长度为 1212、垂直于 AB→\overrightarrow{AB} 且背离 CC 的向量为 (365,485)(\frac{36}{5},\frac{48}{5})。因此 D=(365,635)D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5})。又因 DE∥ACDE\parallel AC，有 E=(365,0)E=(\frac{36}{5},0)，所以 DE=635DE=\frac{63}{5}，DB=13DB=13。于是 DEDB=63513=6365。 \frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}\text{。}因此 m+n=63+65=128m+n=63+65=128。

因此正确答案为 B。

Place C=(0,0),C=(0,0), A=(0,3),A=(0,3), and B=(4,0).B=(4,0). Since AB→=(4,−3),\overrightarrow{AB}=(4,-3), the length-1212 vector perpendicular to AB→\overrightarrow{AB} and directed away from CC is (365,485).(\frac{36}{5},\frac{48}{5}). Hence D=(365,635).D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}). Since DE∥AC,DE\parallel AC, we have E=(365,0),E=(\frac{36}{5},0), so DE=635DE=\frac{63}{5} and DB=13.DB=13. Therefore DEDB=63513=6365. \frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}. Thus m+n=63+65=128.m+n=63+65=128.

Thus the correct answer is B.

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