Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 86$ ，且 $AC = 97$ 。以 $A$ 为圆心、 $AB$ 为半径的圆与 $\overline{BC}$ 交于点 $B$ 和 $X$ 。此外， $\overline{BX}$ 和 $\overline{CX}$ 的长度都是整数。 $BC$ 是多少？

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC = 97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

答案：D

知识点：圆幂质因数分解

难度评级：2200

小提示：

从点 $C$ 使用点的幂，得到 $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ 。

Power of a Point from $C$ gives $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$

大提示：

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ ；在 $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$ 下分解因数

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ factor with $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$

解答：

由点的幂定理， $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ ，其中 $AB$ 是圆的半径。因此 $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013$ 。

因为 $BC = BX + CX$ 且 $CX$ 都是整数，它们是 $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ 的一对互补因数。由于 $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$ ，唯一可能是 $CX = 33$ 且 $BC = 61$ 。

因此，正确答案是 D。

By the Power of a Point Theorem, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ where $AB$ is the radius. Thus $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Since $BC = BX + CX$ and $CX$ are integers, they are complementary factors of $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ As $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ the only possibility is $CX = 33$ and $BC = 61.$

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A 第 19 题

答案：D

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题