Question

设 $S$ 为集合 $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}$ 。对 $a$ ， $b \in S$ ，定义 $a \succ b$ 表示 $0 \lt a - b \le 9$ 或 $b - a \gt 9$ 。有多少个由 $S$ 中元素组成的有序三元组 $(x, y, z)$ 满足 $x \succ y$ 、 $y \succ z$ 且 $z \succ x$ ？

Let $S$ be the set $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.$ For $a,$ $b \in S,$ define $a \succ b$ to mean that either $0 \lt a - b \le 9$ or $b - a \gt 9.$ How many ordered triples $(x, y, z)$ of elements of $S$ have the property that $x \succ y,$ $y \succ z,$ and $z \succ x?$

$810$

$855$

$900$

$950$

$988$

答案：B

知识点：模运算基本计数

难度评级：2220

小提示：

在模 $19$ 意义下考虑；此时 $a \succ b$ 等价于 $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$

Work modulo $19;$ then $a \succ b$ means $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$

大提示：

固定 $x$ （ $19$ 种）；令 $y = x + i$ ，其中 $1 \le i \le 9$ ，则 $z$ 有 $i$ 种选择

Fix $x$ ( $19$ ways); let $y = x + i$ with $1 \le i \le 9,$ then $z$ has $i$ options

解答：

把元素按模 $19$ 来看，关系 $a \succ b$ 恰好在 $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$ 时成立。

$x$ 有 $19$ 种选择。固定 $x$ 后，令 $y = x + i$ ，其中 $1 \le i \le 9$ 。那么 $z$ 必须满足 $x + 10 \le z \le x + 9 + i$ ，因而有 $i$ 种选择。

总数为 $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855$ 。

因此，正确答案是 B。

Reading the elements modulo $19,$ the relation $a \succ b$ holds exactly when $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.$

There are $19$ choices for $x.$ Once $x$ is fixed, take $y = x + i$ for some $1 \le i \le 9.$ Then $z$ must satisfy $x + 10 \le z \le x + 9 + i,$ giving $i$ choices.

The total is $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12A 第 20 题

答案：B

难度评级：2220

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题