Question

图中显示了一个“ $n$ 角正星形”的一部分。它是一个简单闭合多边形，其中 $2n$ 条边全等，角 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $\ldots$ 、 $A_n$ 全等，角 $B_1$ 、 $B_2$ 、 $\ldots$ 、 $B_n$ 也全等。若 $A_1$ 处的锐角比 $B_1$ 处的锐角小 $10^\circ$ ，则 $n=$

Part of an “ $n$ -pointed regular star” is shown. It is a simple closed polygon in which all $2n$ edges are congruent, angles $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ are congruent, and angles $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ are congruent. If the acute angle at $A_1$ is $10^\circ$ less than the acute angle at $B_1,$ then $n=$

$12$

$18$

$24$

$36$

$60$

答案：D

知识点：polygon angle sum concave polygon regular star

难度评级：2110

小提示：

设 $A$ 类顶点和 $B$ 类顶点处的锐角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$

Let the acute angles at the $A$ - and $B$ -vertices be $\alpha$ and $\beta$

大提示：

在每个向内凹的 $B$ 类顶点处，多边形的内角为 $360^\circ-\beta$

At each inward $B$ -vertex, the polygon’s interior angle is $360^\circ-\beta$

解答：

设尖角与凹口处的锐角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，则 $\beta-\alpha=10^\circ$ 。这个 $2n$ 边形有 $n$ 个内角 $\alpha$ 和 $n$ 个优角 $360^\circ-\beta$ 。因此 $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ \end{gathered}\text{。}$ 代入 $\beta-\alpha=10^\circ$ ，得到 $350n=360n-360$ ，所以 $n=36$ 。

因此正确答案是 D。

Let the acute angles at the tips and notches be $\alpha$ and $\beta,$ respectively, so $\beta-\alpha=10^\circ.$ The $2n$ -gon has $n$ interior angles $\alpha$ and $n$ reflex interior angles $360^\circ-\beta.$ Therefore $\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}$ Substituting $\beta-\alpha=10^\circ$ gives $350n=360n-360,$ so $n=36.$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题