Question

对有限数列 $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ ，定义 $A$ 的切萨罗和为 $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n}\text{，}$ 其中 $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n) \end{aligned}\text{。}$ 若 $99$ 项数列 $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ 的切萨罗和为 $1000$ ，则 $100$ 项数列 $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ 的切萨罗和是多少？

For a finite sequence $A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ of numbers, the Cesàro sum of $A$ is defined to be $\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},$ where $\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}$ If the Cesàro sum of the $99$ -term sequence $(a_1,a_2,\ldots,a_{99})$ is $1000,$ what is the Cesàro sum of the $100$ -term sequence $(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})?$

$991$

$999$

$1000$

$1001$

$1009$

答案：A

知识点：partial sums sequence transformation weighted average

难度评级：2000

小提示：

根据第一个切萨罗和求出 $S_1+\cdots+S_{99}$ 的值

Convert the first Cesàro sum into the value of $S_1+\cdots+S_{99}$

大提示：

每个新的部分和都等于一个原部分和加 $1$ ，并且最初还有一个等于 $1$ 的部分和

Each new partial sum is $1$ plus an old partial sum, with one initial partial sum equal to $1$

解答：

已知条件表明 $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000$ 。新数列的部分和依次为 $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}$ 。它们的和为 $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100\text{。}$ 除以 $100$ ，得到新的切萨罗和 $991$ 。

因此正确答案是 A。

The given condition says $S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.$ For the new sequence, the partial sums are $1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.$ Their sum is $100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.$ Dividing by $100$ gives the new Cesàro sum $991.$

Thus the correct answer is A.

1992 AMC 12 第 21 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题