Question

三角形 $ABC$ 的中线 $AD$ 和 $CE$ 交于 $M$ 。 $AE$ 的中点为 $N$ 。若三角形 $MNE$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的 $k$ 倍，则 $k$ 等于：

Medians $AD$ and $CE$ of triangle $ABC$ intersect in $M.$ The midpoint of $AE$ is $N.$ Let the area of triangle $MNE$ be $k$ times the area of triangle $ABC.$ Then $k$ equals:

$\dfrac16$

$\dfrac18$

$\dfrac19$

$\dfrac1{12}$

$\dfrac1{16}$

答案：D

知识点：中线（几何）重心面积比行列式

难度评级：1300

小提示：

以 $A$ 为原点使用坐标或向量

Use coordinates or vectors with $A$ as the origin

大提示：

点 $E$ 、 $N$ 和 $M$ 在两条中线方向上对应简单的分数位置

Points $E,$ $N,$ and $M$ divide the same two median directions by simple fractions

解答：

令 $A=\mathbf0$ 、 $B=\mathbf b$ 、 $C=\mathbf c$ 。则 $\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3} \end{aligned}\text{。}$ 计算行列式得 $[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|\text{，}$ 而 $[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|\text{。}$ 两者之比为 $\frac{1}{12}$ 。

所以，正确答案是 D。

Set $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c.$ Then $\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}$ A determinant calculation gives $[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,$ while $[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.$ Their ratio is $\frac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is D.

1961 AMC 12 第 21 题

答案：D

难度评级：1300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题