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2022 AMC 12B 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

设 SS 为坐标平面中同时与三个圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4、x2+y2=64x^2 + y^2 = 64 和 (x−5)2+y2=3(x - 5)^2 + y^2 = 3 相切的所有圆的集合。SS 中所有圆的面积之和是多少？

Let SS be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations x2+y2=4,x^2 + y^2 = 4, x2+y2=64,x^2 + y^2 = 64, and (x−5)2+y2=3.(x - 5)^2 + y^2 = 3. What is the sum of the areas of all circles in S?S?

48π48\pi

68π68\pi

96π96\pi

102π102\pi

136π136\pi

答案：E
知识点：相切圆圆面积分类讨论
难度评级：2170
小提示：

同时与两个同心圆（半径 22 和 88）相切的圆，其半径为 33 或 55。

A circle tangent to both concentric circles (radii 22 and 88) has radius 33 or radius 55

大提示：

半径为 33 的圆的圆心在半径为 55 的圆上，半径为 55 的圆的圆心在半径为 33 的圆上。分别数出其中有多少个还与第三个圆相切。

The radius-33 circles have centers on the circle of radius 5;5; the radius-55 circles on the circle of radius 3.3. Count how many of each are also tangent to the third circle

解答：

前两个圆同心，半径分别为 22 和 88。同时与它们相切的圆，要么半径为 33，圆心到原点的距离为 55；要么半径为 55，圆心到原点的距离为 33。

第三个圆的圆心为 (5,0)(5, 0)，半径为 3\sqrt3。对每个候选半径 s∈{3,5}s\in\{3,5\}，与第三个圆相切要求圆心到 (5,0)(5,0) 的距离为 s+3s+\sqrt3 或 s−3s-\sqrt3。这两个距离圆各与相应的圆心轨迹交于两个对称的点。因此恰有四个半径为 33 的圆和四个半径为 55 的圆满足条件。

面积和为 4⋅π(3)2+4⋅π(5)24 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2 =36π+100π=136π= 36\pi + 100\pi = 136\pi。

所以正确答案是 E。

The first two circles are concentric with radii 22 and 8.8. A circle tangent to both either has radius 33 with center at distance 55 from the origin, or radius 55 with center at distance 33 from the origin.

The third circle has center (5,0)(5, 0) and radius 3.\sqrt3. For each candidate radius s∈{3,5},s\in\{3,5\}, tangency requires the center’s distance from (5,0)(5,0) to be s+3s+\sqrt3 or s−3.s-\sqrt3. Each of these two distance circles intersects the appropriate center-locus in two symmetric points. Hence exactly four radius-33 circles and four radius-55 circles work.

The sum of the areas is 4⋅π(3)2+4⋅π(5)24 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2 =36π+100π=136π.= 36\pi + 100\pi = 136\pi.

Thus, the correct answer is E.

第 20 题#20
完整试卷
第 22 题#22

其他年份的第 21 题

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