Question

对实数 $x$ ，令 $\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}$ 其中 $i = \sqrt{-1}$ 。在 $0 \le x \lt 2\pi$ 中，有多少个 $x$ 满足 $P(x) = 0\text{？}$

For real numbers $x,$ let $\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}$ where $i = \sqrt{-1}.$ For how many values of $x$ with $0 \le x \lt 2\pi$ does $P(x) = 0?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：A

知识点：复数三角恒等式

难度评级：2420

小提示：

写成 $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}$ ，并要求实部和虚部都为零。

Write $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}$ and require both the real and imaginary parts to vanish

大提示：

虚部可分解为 $\sin(2x)(2\cos x - 1)$

The imaginary part factors as $\sin(2x)(2\cos x - 1)$

解答：

由 Euler 公式， $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}$ 。其虚部为 $\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1) \end{gathered}\text{。}$

它在 $\sin 2x = 0$ 时为零，此时 $x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}$ ；或者在 $\cos x = \tfrac12$ 时为零，此时 $x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}$ 。

逐一检查实部 $1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x$ ，在这些值处结果为 $\pm 2$ 或 $1$ ，从不为 $0$ 。所以不存在 $x$ 使 $P(x) = 0$ 。

所以正确答案是 A。

Group by Euler’s formula: $P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}.$ The imaginary part is $\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}$

This vanishes when $\sin 2x = 0$ (so $x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}$ ) or $\cos x = \tfrac12$ (so $x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}$ ).

Checking the real part $1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x$ at each of these values gives $\pm 2$ or $1,$ never $0.$ So no $x$ makes $P(x) = 0.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Fall 第 21 题

答案：A

难度评级：2420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题