Question

设 $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1$ 。下列哪个多项式整除 $P(x)$ ？

Let $P(x)=x^{2022}+x^{1011}+1.$ Which of the following polynomials divides $P(x)?$

$x^2-x+1$

$x^2+x+1$

$x^4+1$

$x^6-x^3+1$

$x^6+x^3+1$

答案：E

知识点：单位根多项式

难度评级：2170

小提示：

因子 $D(x)$ 可行，当且仅当 $D$ 的每个根 $\zeta$ 都满足 $\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ 。

A divisor $D(x)$ works iff every root $\zeta$ of $D$ satisfies $\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$

大提示：

对 $x^6+x^3+1$ 它的根是本原 $9$ 次单位根，所以 $\zeta^3$ 是本原三次单位根

For $x^6+x^3+1$ the roots are primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^3$ is a primitive cube root of unity

解答：

如果 $\zeta$ 是某个因子的根，则必须有 $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ 。

$x^6+x^3+1$ 的根是本原 $9$ 次单位根，因此 $\zeta^9=1$ 。将指数对 $9$ 取模，由 $2022\equiv6$ 和 $1011\equiv3$ 可得 $\zeta^6+\zeta^3+1$ 。这里 $\omega=\zeta^3$ 是本原三次单位根，所以该式等于 $\omega^2+\omega+1=0$ 。

其他四个选项不成立：代入它们的根会得到非零值（例如本原三次单位根会给出 $P=3$ ）。

因此，正确答案是 E。

If $\zeta$ is a root of a divisor, then $P(\zeta)=\zeta^{2022}+\zeta^{1011}+1=0$ is required.

The roots of $x^6+x^3+1$ are the primitive $9$ th roots of unity, so $\zeta^9=1.$ Reducing exponents modulo $9,$ $2022\equiv6$ and $1011\equiv3,$ giving $\zeta^6+\zeta^3+1.$ Here $\omega=\zeta^3$ is a primitive cube root of unity, so this equals $\omega^2+\omega+1=0.$

The other four options fail: substituting their roots yields nonzero values (for instance, the primitive cube roots of unity give $P=3$ ).

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A 第 21 题

答案：E

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题