Question

排列 $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ 是 $(1, 2, 3, 4, 5)$ 的一个排列。若 $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ ，称它为尾重排列。尾重排列有多少个？

A permutation $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)$ of $(1, 2, 3, 4, 5)$ is heavy-tailed if $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5.$ What is the number of heavy-tailed permutations?

$36$

$40$

$44$

$48$

$52$

答案：D

知识点：排列对称性补集计数

难度评级：2050

小提示：

由对称性， $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ 与 $a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5$ 出现次数相同。

By symmetry, $a_1 + a_2 \lt a_4 + a_5$ and $a_1 + a_2 \gt a_4 + a_5$ occur equally often

大提示：

先数平衡排列 $a_1 + a_2 = a_4 + a_5$ ；此时 $a_3 \in \{1, 3, 5\}$ 。

Count the balanced permutations $a_1 + a_2 = a_4 + a_5;$ here $a_3 \in \{1, 3, 5\}$

解答：

称满足 $a_1 + a_2 = a_4 + a_5$ 的排列为平衡排列。把排列反向会交换两种严格不等的情形，所以尾重排列与头重排列的个数相同。

总和 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 是奇数，所以在平衡排列中 $a_3$ 必须是奇数，即 $1, 3, 5$ 之一。对每种选择，剩下的四个数唯一地分成两组和相等的数对。

这四个数中任何一个都可以作 $a_1$ （于是 $a_2$ 随之确定），剩下两个数中任何一个都可以作 $a_4$ （于是 $a_5$ 随之确定），共得 $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ 个平衡排列。

非平衡排列有 $120 - 24 = 96$ 个，两种严格不等情形各占一半，所以有 $\tfrac{96}{2} = 48$ 个尾重排列。

所以正确答案是 D。

Call a permutation balanced if $a_1 + a_2 = a_4 + a_5.$ Reversing the entries swaps the two strict cases, so heavy-tailed and heavy-headed permutations are equally numerous.

The total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ is odd, so in a balanced permutation $a_3$ must be odd, one of $1, 3, 5.$ For each choice, the remaining four numbers split uniquely into two equal-sum pairs.

Any of the four can be $a_1$ (fixing $a_2$ ), and either remaining number can be $a_4$ (fixing $a_5$ ), giving $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ balanced permutations.

The other $120 - 24 = 96$ permutations split evenly, so there are $\tfrac{96}{2} = 48$ heavy-tailed permutations.

Thus, D is the correct answer.

2008 AMC 12A 第 21 题

答案：D

难度评级：2050

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题