Question

设 $ABCD$ 是单位正方形。令 $Q_1$ 为 $\overline{CD}$ 的中点。对 $i=1$ ， $2$ ， $\ldots$ ，令 $P_i$ 为 $\overline{AQ_i}$ 与 $\overline{BD}$ 的交点，并令 $Q_{i+1}$ 为从 $P_i$ 到 $\overline{CD}$ 的垂足。下式的值是多少？

$\sum_{i=1}^{\infty}\text{面积 }\triangle DQ_iP_i$

Let $ABCD$ be a unit square. Let $Q_1$ be the midpoint of $\overline{CD}.$ For $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ let $P_i$ be the intersection of $\overline{AQ_i}$ and $\overline{BD},$ and let $Q_{i+1}$ be the foot of the perpendicular from $P_i$ to $\overline{CD}.$ What is

$\sum_{i=1}^{\infty}\text{Area of }\triangle DQ_iP_i?$

$\dfrac16$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$1$

答案：B

知识点：相似裂项相消递推

难度评级：2210

小提示：

相似三角形给出递推 $DQ_{i+1}=\dfrac{DQ_i}{1+DQ_i}$ ，且 $DQ_1=\tfrac12$ ，从而 $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$ 。

Similar triangles give the recursion $DQ_{i+1}=\dfrac{DQ_i}{1+DQ_i},$ and $DQ_1=\tfrac12$ leads to $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$

大提示：

三角形 $\triangle DQ_iP_i$ 的面积为 $\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1}$ $\cdot\dfrac{1}{i+2}$ $=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right)$ ；求和时中间项会相消。

The area of $\triangle DQ_iP_i$ is $\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1}$ $\cdot\dfrac{1}{i+2}$ $=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right);$ the sum telescopes

解答：

设 $D=(0,0)$ 、 $C=(1,0)$ 、 $B=(1,1)$ 、 $A=(0,1)$ ，并令 $q_i=DQ_i$ 。直线 $AQ_i$ 与 $\overline{BD}$ （即直线 $y=x$ ）相交于 $P_i$ ，交点的两个坐标都为 $\dfrac{q_i}{1+q_i}$ ，所以 $q_{i+1}=\dfrac{q_i}{1+q_i}$ 。由 $q_1=\tfrac12$ 可得 $q_i=\dfrac{1}{i+1}$ 。三角形 $\triangle DQ_iP_i$ 的底为 $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$ ，高为 $P_i$ 的 $y$ 坐标，即 $q_{i+1}=\dfrac{1}{i+2}$ 。于是 $\begin{gathered} \text{面积 }\triangle DQ_iP_i=\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1} \\ \quad{}\cdot\dfrac{1}{i+2} \\ {}=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right)\text{。} \end{gathered}$ 求和后中间项相消，得到 $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$ 。

所以正确答案是 B。

Place $D=(0,0),$ $C=(1,0),$ $B=(1,1),$ $A=(0,1),$ and let $q_i=DQ_i.$ Intersecting line $AQ_i$ with $\overline{BD}$ (the line $y=x$ ) gives $P_i$ with both coordinates $\dfrac{q_i}{1+q_i},$ so $q_{i+1}=\dfrac{q_i}{1+q_i}.$ From $q_1=\tfrac12$ this yields $q_i=\dfrac{1}{i+1}.$ The base of $\triangle DQ_iP_i$ is $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$ and its height is the $y$ -coordinate of $P_i,$ which is $q_{i+1}=\dfrac{1}{i+2}.$ Then $\begin{gathered} \text{Area of }\triangle DQ_iP_i=\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1} \\ \quad{}\cdot\dfrac{1}{i+2} \\ {}=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right). \end{gathered}$ Summing telescopes to $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14.$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12B 第 21 题

答案：B

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题