Question

在三角形 $ABC$ 中， $\angle CBA=72^\circ$ ， $E$ 是边 $AC$ 的中点， $D$ 是边 $BC$ 上的一点且满足 $2BD=DC$ ； $AD$ 与 $BE$ 交于 $F$ 。 $\triangle BDF$ 的面积与四边形 $FDCE$ 的面积之比为

In triangle $ABC,$ $\angle CBA=72^\circ,$ $E$ is the midpoint of side $AC,$ and $D$ is a point on side $BC$ such that $2BD=DC;$ $AD$ and $BE$ intersect at $F.$ The ratio of the area of $\triangle BDF$ to the area of quadrilateral $FDCE$ is

$\frac15$

$\frac14$

$\frac13$

$\frac25$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：面积比中点比与比例

难度评级：2040

小提示：

仿射变换不改变面积比，因此可以选用方便的坐标

Area ratios are unchanged by an affine transformation, so convenient coordinates may be used

大提示：

先求比 $AF:FD$ ，再将两个小三角形与 $\triangle ABC$ 比较

Find the ratio $AF:FD$ , then compare the small triangles with $\triangle ABC$

解答：

把 $\triangle ABC$ 的总面积定为 $1$ 。因为 $BD:DC=1:2$ ，所以 $[ABD]=\frac{1}{3}$ ，且 $[ACD]=\frac{2}{3}$ 。中点和三等分条件给出 $AF:FD=3:1$ 。因此 $[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}\text{。}$ 此外， $\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$ ，所求比为 $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}$ 。

因此，正确答案是 A。

Scale the total area of $\triangle ABC$ to $1.$ Since $BD:DC=1:2,$ we have $[ABD]=\frac{1}{3}$ and $[ACD]=\frac{2}{3}.$ The midpoint and trisection conditions give $AF:FD=3:1.$ Hence $[BDF]=\frac14[ABD]=\frac1{12}.$ Also $\begin{aligned} [AEF] &=\frac{AE}{AC}\frac{AF}{AD}[ACD]\\ &=\frac12\cdot\frac34\cdot\frac23\\ &=\frac14. \end{aligned}$ Therefore $[FDCE]=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12},$ and the requested ratio is $\frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{12}}=\frac{1}{5}.$

Therefore, the correct answer is A.

1980 AMC 12 第 21 题

答案：A

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题