LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2003 AMC 12B 第 21 题

先试着解答 2003 AMC 12B 第 21 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2003 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

一个物体从 AA 沿直线移动 88 cm 到 BB，再转过角 α\alpha。这个角以弧度计，从区间 (0,π)(0, \pi) 中随机选取。随后物体沿直线移动 55 cm 到 CC。AC<7AC \lt 7 的概率是多少？

An object moves 88 cm in a straight line from AA to B,B, turns at an angle α,\alpha, measured in radians and chosen at random from the interval (0,π),(0, \pi), and moves 55 cm in a straight line to C.C. What is the probability that AC<7?AC \lt 7?

16\dfrac{1}{6}

15\dfrac{1}{5}

14\dfrac{1}{4}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

答案：D
知识点：余弦定理几何概率三角学
难度评级：1910
小提示：

令 β=π−α\beta = \pi - \alpha 为 △ABC\triangle ABC 在 BB 处的内角；对该三角形使用余弦定理

Let β=π−α\beta = \pi - \alpha be the interior angle at B;B; apply the Law of Cosines to △ABC\triangle ABC

大提示：

AC2=89−80cos⁡βAC^2 = 89 - 80\cos\beta，所以 AC<7AC \lt 7 等价于 cos⁡β>12\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}

AC2=89−80cos⁡β,AC^2 = 89 - 80\cos\beta, so AC<7AC \lt 7 is equivalent to cos⁡β>12\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}

解答：

令 β=π−α\beta = \pi - \alpha 为 △ABC\triangle ABC 在 BB 处的内角。由余弦定理，AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β。 \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta \end{aligned}\text{。}

于是 AC<7AC \lt 7 表示 89−80cos⁡β<4989 - 80\cos\beta \lt 49，即 cos⁡β>12\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}，也就是 β<π3\beta \lt \dfrac{\pi}{3}。

因为 α\alpha 在 (0,π)(0, \pi) 上均匀分布，所以 β\beta 也均匀分布。概率为 π3π=13。 \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Let β=π−α\beta = \pi - \alpha be the interior angle of △ABC\triangle ABC at B.B. By the Law of Cosines, AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}

Then AC<7AC \lt 7 means 89−80cos⁡β<49,89 - 80\cos\beta \lt 49, i.e. cos⁡β>12,\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}, i.e. β<π3.\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.

As α\alpha is uniform on (0,π),(0, \pi), so is β.\beta. The probability is π3π=13. \frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.

第 20 题#20
完整试卷
第 22 题#22

其他年份的第 21 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B