Question

考虑数列 $4$ ， $7$ ， $1$ ， $8$ ， $9$ ， $7$ ， $6$ ， $\ldots$ 。对 $n \gt 2$ ，第 $n$ 项是前两项之和的个位数字。令 $S_n$ 表示该数列前 $n$ 项的和。使 $S_n \gt 10{,}000$ 的最小 $n$ 是

Consider the sequence of numbers $4,$ $7,$ $1,$ $8,$ $9,$ $7,$ $6,$ $\ldots$ For $n \gt 2,$ the $n$ th term of the sequence is the units digit of the sum of the two previous terms. Let $S_n$ denote the sum of the first $n$ terms of this sequence. The smallest value of $n$ for which $S_n \gt 10{,}000$ is

$1992$

$1999$

$2001$

$2002$

$2004$

答案：B

知识点：个位数字求和找规律

难度评级：1840

小提示：

继续写出各项，直到模式重复。

Write out terms until the pattern repeats

大提示：

前 $12$ 项和为 $60$ ，之后循环重复；求多少个完整循环仍不超过 $10{,}000$ 。

The first $12$ terms sum to $60$ and then repeat; find how many full blocks stay under $10{,}000$

解答：

继续写数列得到 $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ ， $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots$ ，它以 $12$ 为周期重复。每个 $12$ 项循环的和为 $60$ 。

满足 $60k \le 10{,}000$ 的最大 $k$ 是 $k = 166$ ，因此 $S_{12\cdot 166} = 9960$ 。再加上下一轮的 $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ ，增加 $42$ ，总和超过 $10{,}000$ 。所以 $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999$ 。

因此，正确答案是 B。

Continuing the sequence gives $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,$ $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,$ which repeats with period $12.$ Each block of $12$ terms sums to $60.$

The largest $k$ with $60k \le 10{,}000$ is $k = 166,$ giving $S_{12\cdot 166} = 9960.$ Adding the next terms $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ contributes $42,$ pushing the total past $10{,}000.$ So $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A 第 21 题

答案：B

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题