2002 AMC 12A 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

求下列方程的所有根之和。 $\begin{aligned} &(2x+3)(x-4) \\ &\quad {}+(2x+3)(x-6)=0 \end{aligned}\text{。}$

Compute the sum of all the roots of $\begin{aligned} &(2x+3)(x-4) \\ &\quad {}+(2x+3)(x-6)=0. \end{aligned}$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$5$

$7$

$13$

知识点：因式分解韦达定理

难度评级：890

小提示：

两项都有公因式 $2x+3$ 。

Both terms share the factor $2x+3$

大提示：

方程可化为 $(2x+3)(2x-10)=0$ 。

The equation becomes $(2x+3)(2x-10)=0$

解答：

提出 $2x+3$ 得到 $(2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big]$ $= (2x+3)(2x-10)$ $= 0$ 。

两个根为 $-\dfrac{3}{2}$ 和 $5$ ，它们的和是 $-\dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{7}{2}$ 。

因此，正确答案是 A。

Factoring out $2x+3$ gives $(2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big]$ $= (2x+3)(2x-10)$ $= 0.$

The roots are $-\dfrac{3}{2}$ and $5,$ whose sum is $-\dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

2.

老师要求 Cindy 从某个数中减去 $3$ ，再将结果除以 $9$ 。可她却先减去 $9$ ，再将结果除以 $3$ 得到答案 $43$ 。如果她按正确步骤计算，答案应是多少？

Cindy was asked by her teacher to subtract $3$ from a certain number and then divide the result by $9.$ Instead, she subtracted $9$ and then divided the result by $3,$ giving an answer of $43.$ What would her answer have been had she worked the problem correctly?

$15$

$34$

$43$

$51$

$138$

知识点：逆推法一次方程

难度评级：1020

小提示：

她实际计算的是 $\dfrac{x-9}{3}=43$ 。

Her computation was $\dfrac{x-9}{3}=43$

大提示：

先求出 $x$ ，再计算 $\dfrac{x-3}{9}$ 。

Solve for $x,$ then evaluate $\dfrac{x-3}{9}$

解答：

设原数为 $x$ 。Cindy 计算了 $\dfrac{x-9}{3} = 43$ ，所以 $x - 9 = 129$ ， $x = 138$ 。

正确计算为 $\dfrac{138-3}{9} = \dfrac{135}{9} = 15$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $x$ be the number. Cindy computed $\dfrac{x-9}{3} = 43,$ so $x - 9 = 129$ and $x = 138.$

The correct computation gives $\dfrac{138-3}{9} = \dfrac{135}{9} = 15.$

Thus, the correct answer is A.

3.

按照指数运算的标准约定， $2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{16} = 65{,}536\text{。}$ 如果改变指数运算的执行顺序，还可能得到多少个其他值？

According to the standard convention for exponentiation, $2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{16} = 65{,}536.$ If the order in which the exponentiations are performed is changed, how many other values are possible?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：运算顺序指数分类讨论

难度评级：1270

小提示：

四个 $2$ 组成的指数塔共有五种加括号方式。

There are five ways to parenthesize a tower of four $2$ ’s

大提示：

每种加括号方式的值都是 $2^{16}$ 或 $2^{8}$ 。

Every parenthesization evaluates to either $2^{16}$ or $2^{8}$

解答：

$2^{2^{2^2}}$ 的五种加括号方式给出 $\begin{aligned} &\left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^{2^2}\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^2\right)^{2^2} = 2^8 \end{aligned}\text{，}$ $2^{\left(2^2\right)^2} = 2^{16},\quad 2^{2^{2^2}} = 2^{16}\text{。}$

因此只可能得到 $2^{16} = 65{,}536$ 和 $2^8 = 256$ 。除标准值外，恰好还有 $1$ 个其他值。

因此，正确答案是 B。

The five parenthesizations of $2^{2^{2^2}}$ give $\begin{aligned} &\left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^{2^2}\right)^2 = 2^8, \\ &\left(2^2\right)^{2^2} = 2^8, \end{aligned}$ $2^{\left(2^2\right)^2} = 2^{16},\quad 2^{2^{2^2}} = 2^{16}.$

So the only values are $2^{16} = 65{,}536$ and $2^8 = 256.$ Besides the standard value there is exactly $1$ other.

Thus, the correct answer is B.

4.

求一个角的度数，已知它的余角是它的补角的 $25\%$ 。

Find the degree measure of an angle whose complement is $25\%$ of its supplement.

$48$

$60$

$75$

$120$

$150$

知识点：角度和一次方程

难度评级：1130

小提示：

余角是 $90 - x$ ，补角是 $180 - x$ 。

The complement is $90 - x$ and the supplement is $180 - x$

大提示：

解方程 $90 - x = \dfrac14(180 - x)$ 。

Solve $90 - x = \dfrac14(180 - x)$

解答：

设这个角为 $x$ ，则 $90 - x = \dfrac14(180 - x)$ ，所以 $360 - 4x = 180 - x$ 。

由此 $3x = 180$ ，所以 $x = 60$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the angle be $x.$ Then $90 - x = \dfrac14(180 - x),$ so $360 - 4x = 180 - x.$

This gives $3x = 180,$ so $x = 60.$

Thus, the correct answer is B.

5.

图中每个小圆的半径都是一。最里面的圆与围绕它的六个圆相切，这六个圆中的每个又与大圆以及相邻的小圆相切。求阴影区域的面积。

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

$\pi$

$1.5\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$3.5\pi$

知识点：圆面积相切圆

难度评级：1270

小提示：

每个外圈圆的圆心到中心的距离为 $2$ ，所以大圆半径为 $3$ 。

Each surrounding circle has its center $2$ units from the center, so the large circle has radius $3$

大提示：

用大圆面积减去七个单位圆的面积。

Subtract the areas of the seven unit circles from the area of the large circle

解答：

六个外圈单位圆都与中心单位圆相切，所以它们的圆心到中心距离为 $2$ 。再加上一个半径，大圆半径为 $3$ ，面积为 $9\pi$ 。

七个单位圆的总面积为 $7\pi$ ，所以阴影区域面积为 $9\pi - 7\pi = 2\pi$ 。

因此，正确答案是 C。

Each of the six outer unit circles is tangent to the central unit circle, so its center is $2$ units from the center. Adding one more radius, the large circle has radius $3$ and area $9\pi.$

The seven unit circles have total area $7\pi,$ so the shaded region has area $9\pi - 7\pi = 2\pi.$

Thus, the correct answer is C.

6.

有多少个正整数 $m$ 满足：存在至少一个正整数 $n$ ，使得 $m \cdot n \le m + n$ ？

For how many positive integers $m$ does there exist at least one positive integer $n$ such that $m \cdot n \le m + n?$

$4$

$6$

$9$

$12$

无穷多个

infinitely many

知识点：不等式小情形

难度评级：1350

小提示：

考虑 $n = 1$ 时会发生什么。

Consider what happens when $n = 1$

大提示：

当 $n = 1$ 时，不等式化为 $m \le m + 1$ 。

For $n = 1,$ the inequality reduces to $m \le m + 1$

解答：

取 $n = 1$ ，不等式变为 $m \le m + 1$ ，这对每个正整数 $m$ 都成立。

所以每个正整数 $m$ 都满足条件，共有无穷多个。

因此，正确答案是 E。

Taking $n = 1,$ the inequality becomes $m \le m + 1,$ which holds for every positive integer $m.$

So every positive integer $m$ works, and there are infinitely many.

Thus, the correct answer is E.

7.

若圆 $A$ 上 $45^\circ$ 的弧长等于圆 $B$ 上 $30^\circ$ 的弧长，则圆 $A$ 的面积与圆 $B$ 的面积之比为

If an arc of $45^\circ$ on circle $A$ has the same length as an arc of $30^\circ$ on circle $B,$ then the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B$ is

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{4}$

知识点：弧圆面积比与比例

难度评级：1350

小提示：

弧长相等： $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B$ 。

Equal arc lengths: $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B$

大提示：

先求 $\dfrac{R_A}{R_B}$ ；面积比是它的平方。

Find $\dfrac{R_A}{R_B};$ the area ratio is its square

解答：

弧长相等给出 $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B$ ，所以 $\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$ 。

面积比为 $\left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ 。

因此，正确答案是 A。

Equal arc lengths give $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi R_A = \dfrac{30}{360}\cdot 2\pi R_B,$ so $\dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}.$

The ratio of areas is $\left(\dfrac{R_A}{R_B}\right)^2 = \dfrac{4}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Betsy 用蓝色三角形、小白色正方形和红色中心正方形设计了一面旗帜，如图所示。设 $B$ 为蓝色三角形总面积， $W$ 为白色正方形总面积， $R$ 为红色正方形面积。下列哪一项正确？

Betsy designed a flag using blue triangles, small white squares, and a red center square, as shown. Let $B$ be the total area of the blue triangles, $W$ the total area of the white squares, and $R$ the area of the red square. Which of the following is correct?

$B = W$

$W = R$

$B = R$

$3B = 2R$

$2R = W$

知识点：面积分割全等（几何）

难度评级：1380

小提示：

用全等三角形覆盖整面旗帜。

Cover the whole flag with congruent triangles

大提示：

数一数蓝色区域和白色区域中各有多少个这样的三角形。

Count how many of those triangles lie in the blue region and in the white region

解答：

画出所示的对角线后，整面旗帜被分成全等三角形。数一数可得，蓝色区域有 $24$ 个三角形，白色区域有 $24$ 个，红色正方形有 $16$ 个。

由于蓝色和白色区域含有相同数量的三角形，所以 $B = W$ 。

因此，正确答案是 A。

Drawing the diagonals shown, the entire flag is tiled by congruent triangles. Counting, there are $24$ triangles in the blue region, $24$ in the white region, and $16$ in the red square.

Since the blue and white regions contain the same number of triangles, $B = W.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Jamal 想把 $30$ 个电脑文件存到软盘上，每张软盘容量为 $1.44$ 兆字节（MB）。其中三个文件各需要 $0.8$ MB，另有 $12$ 个各需要 $0.7$ MB，剩下 $15$ 个各需要 $0.4$ MB。一个文件不能拆分到多张软盘上。装下所有文件最少需要多少张软盘？

Jamal wants to store $30$ computer files on floppy disks, each of which has a capacity of $1.44$ megabytes (mb). Three of his files require $0.8$ mb of memory each, $12$ more require $0.7$ mb each, and the remaining $15$ require $0.4$ mb each. No file can be split between floppy disks. What is the minimal number of floppy disks that will hold all the files?

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

知识点：最优化极限情形界定

难度评级：1570

小提示：

所需总容量为 $3(0.8)+12(0.7)+15(0.4)$ mb。

The total memory needed is $3(0.8)+12(0.7)+15(0.4)$ mb

大提示：

放有一个 $0.8$ 文件的软盘最多只能再放一个 $0.4$ 文件，会浪费 $0.24$ mb；把这些浪费加起来。

A disk holding a $0.8$ file has room for only one $0.4$ file, wasting $0.24$ mb; add up this waste

解答：

文件总大小为 $3(0.8)+12(0.7)$ $+15(0.4) = 16.8$ mb，所以仅按容量至少需要 $\dfrac{16.8}{1.44} = 11\tfrac{2}{3}$ 张软盘。

含有 $0.8$ -mb 文件的软盘只能再放一个 $0.4$ -mb 文件，至少留下 $0.24$ mb 空间。三个 $0.8$ -mb 文件总共至少浪费 $3(0.24) = 0.72$ mb，超过半张软盘容量，因此至少需要 $13$ 张。

十三张也足够：六张各放两个 $0.7$ -mb 文件，三张各放一个 $0.8$ -mb 文件和一个 $0.4$ -mb 文件，四张各放三个 $0.4$ -mb 文件。

因此，正确答案是 B。

The files need $3(0.8)+12(0.7)$ $+15(0.4) = 16.8$ mb, so at least $\dfrac{16.8}{1.44} = 11\tfrac{2}{3}$ disks by volume alone.

A disk containing a $0.8$ -mb file has room for only one more $0.4$ -mb file, leaving at least $0.24$ mb unused. Across the three $0.8$ -mb files this wastes at least $3(0.24) = 0.72$ mb, over half a disk, forcing at least $13$ disks.

Thirteen suffice: six disks each hold two $0.7$ -mb files, three disks each hold one $0.8$ -mb file plus one $0.4$ -mb file, and four disks each hold three $0.4$ -mb files.

Thus, the correct answer is B.

10.

Sarah 将四盎司咖啡倒入一个八盎司杯中，又将四盎司奶油倒入另一个同样大小的杯子。她把第一杯中一半的咖啡倒入第二杯，充分搅拌后，再把第二杯中一半的液体倒回第一杯。现在第一杯中的液体有几分之几是奶油？

Sarah pours four ounces of coffee into an eight-ounce cup and four ounces of cream into a second cup of the same size. She then transfers half the coffee from the first cup to the second and, after stirring thoroughly, transfers half the liquid in the second cup back to the first. What fraction of the liquid in the first cup is now cream?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：混合问题分数

难度评级：1440

小提示：

第一次转移后，杯 $2$ 有 $2$ oz 咖啡和 $4$ oz 奶油。

After the first transfer, cup $2$ holds $2$ oz coffee and $4$ oz cream

大提示：

杯 $2$ 倒回一半时，会按相同比例转移咖啡和奶油；求杯 $1$ 中的奶油量。

Transferring back half of cup $2$ moves its coffee and cream in equal proportion; find the cream in cup $1$

解答：

倒出一半咖啡后，杯 $1$ 有 $2$ oz 咖啡；杯 $2$ 有 $2$ oz 咖啡和 $4$ oz 奶油，共 $6$ oz。

杯 $2$ 倒回一半，会转移 $1$ oz 咖啡和 $2$ oz 奶油。于是杯 $1$ 有 $2 + 1 = 3$ oz 咖啡和 $2$ oz 奶油。

奶油所占比例为 $\dfrac{2}{2+3} = \dfrac{2}{5}$ 。

因此，正确答案是 D。

After transferring half the coffee, cup $1$ has $2$ oz coffee and cup $2$ has $2$ oz coffee and $4$ oz cream, a total of $6$ oz.

Transferring half of cup $2$ back moves $1$ oz coffee and $2$ oz cream. Cup $1$ then holds $2 + 1 = 3$ oz coffee and $2$ oz cream.

The fraction that is cream is $\dfrac{2}{2+3} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Earl E. Bird 先生每天上午 $8{:}00$ 整离家上班。当他的平均速度为每小时 $40$ 英里时，会晚到三分钟；当平均速度为每小时 $60$ 英里时，会早到三分钟。Bird 先生应以多少英里每小时的平均速度行驶，才能准时到达工作地点？

Mr. Earl E. Bird leaves his house for work at exactly $8{:}00$ A.M. every morning. When he averages $40$ miles per hour, he arrives at his workplace three minutes late. When he averages $60$ miles per hour, he arrives three minutes early. At what average speed, in miles per hour, should Mr. Bird drive to arrive at his workplace precisely on time?

$45$

$48$

$50$

$55$

$58$

知识点：路程、速度与时间方程组

难度评级：1380

小提示：

设准时所需行驶时间为 $t$ 小时；三分钟是 $0.05$ 小时。

Let $t$ be the on-time travel time in hours; three minutes is $0.05$ hours

大提示：

列方程 $40(t+0.05) = 60(t-0.05)$ ，求出 $t$ ，再求路程。

Set $40(t+0.05) = 60(t-0.05),$ solve for $t,$ then find the distance

解答：

设准时所需时间为 $t$ 小时。三分钟是 $0.05$ 小时，所以 $40(t+0.05) = 60(t-0.05)$ 。

得 $40t + 2 = 60t - 3$ ，所以 $t = 0.25$ 。路程为 $40(0.25+0.05) = 12$ 英里，所需速度为 $\dfrac{12}{0.25} = 48$ 英里每小时。

因此，正确答案是 B。

Let $t$ be the time in hours to arrive on time. Since three minutes is $0.05$ hours, $40(t+0.05) = 60(t-0.05).$

This gives $40t + 2 = 60t - 3,$ so $t = 0.25.$ The distance is $40(0.25+0.05) = 12$ miles, and the required speed is $\dfrac{12}{0.25} = 48$ miles per hour.

Thus, the correct answer is B.

12.

二次方程 $x^2 - 63x + k = 0$ 的两个根都是质数。 $k$ 可能取值的个数是多少？

Both roots of the quadratic equation $x^2 - 63x + k = 0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

$0$

$1$

$2$

$4$

多于四个

more than four

知识点：韦达定理质数奇偶性

难度评级：1350

小提示：

如果两个根是质数 $p$ 和 $q$ ，则 $p + q = 63$ 。

If the roots are primes $p$ and $q,$ then $p + q = 63$

大提示：

和为奇数迫使其中一个质数为 $2$ 。

An odd sum forces one of the primes to be $2$

解答：

如果两个根是质数 $p$ 和 $q$ ，则由韦达定理 $p + q = 63$ ，且 $pq = k$ 。

因为 $63$ 是奇数，所以一个质数必须是偶数，即 $2$ ，另一个是 $61$ 。两者都是质数，所以 $k = 2\cdot 61 = 122$ 是唯一可能值。

因此，正确答案是 B。

If the roots are primes $p$ and $q,$ then by Vieta’s formulas $p + q = 63$ and $pq = k.$

Since $63$ is odd, one prime must be even, namely $2,$ and the other is $61.$ Both are prime, so $k = 2\cdot 61 = 122$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

13.

两个不同的正数 $a$ 和 $b$ 各自与其倒数相差 $1$ 。 $a + b$ 是多少？

Two different positive numbers $a$ and $b$ each differ from their reciprocals by $1.$ What is $a + b?$

$1$

$2$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$3$

知识点：分式方程二次方程

难度评级：1500

小提示：

满足 $\left|x - \dfrac1x\right| = 1$ 的数 $x$ 满足 $x^2 - x - 1 = 0$ 或 $x^2 + x - 1 = 0$ 。

A number $x$ with $\left|x - \dfrac1x\right| = 1$ satisfies $x^2 - x - 1 = 0$ or $x^2 + x - 1 = 0$

大提示：

两个正解互为倒数；用求根公式把它们相加。

The two positive solutions are reciprocals of each other; add them using the quadratic formula

解答：

正数 $x$ 与其倒数相差 $1$ 时， $x - \dfrac1x = 1$ 或 $x - \dfrac1x = -1$ ，即 $x^2 - x - 1 = 0$ 或 $x^2 + x - 1 = 0$ 。

正根为 $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ 和 $\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ ，它们互为倒数。它们的和是 $a + b = \sqrt5$ 。

因此，正确答案是 C。

A positive number $x$ differs from its reciprocal by $1$ when $x - \dfrac1x = 1$ or $x - \dfrac1x = -1,$ i.e. $x^2 - x - 1 = 0$ or $x^2 + x - 1 = 0.$

The positive roots are $\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ and $\dfrac{-1+\sqrt5}{2},$ which are reciprocals of each other. Their sum is $a + b = \sqrt5.$

Thus, the correct answer is C.

14.

对所有正整数 $n$ ，定义 $f(n) = \log_{2002} n^2$ 。令 $N = f(11) + f(13) + f(14)\text{。}$ 下列哪个关系成立？

For all positive integers $n,$ let $f(n) = \log_{2002} n^2.$ Let $N = f(11) + f(13) + f(14).$ Which of the following relations is true?

$N \gt 1$

$N = 1$

$1 \lt N \lt 2$

$N = 2$

$N \gt 2$

知识点：对数

难度评级：1500

小提示：

$f(n) = \log_{2002} n^2 = 2\log_{2002} n$ 。

$f(n) = \log_{2002} n^2 = 2\log_{2002} n$

大提示：

合并为 $N = \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2$ ，再计算里面的乘积。

Combine into $N = \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2$ and evaluate the product inside

解答：

利用 $\log a^2 = 2\log a$ 并合并对数， $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2 \end{aligned}\text{。}$

因为 $11\cdot 13\cdot 14 = 2002$ ，所以这是 $\log_{2002} 2002^2 = 2$ 。

因此，正确答案是 D。

Using $\log a^2 = 2\log a$ and adding logs, $\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}$

Since $11\cdot 13\cdot 14 = 2002,$ this is $\log_{2002} 2002^2 = 2.$

Thus, the correct answer is D.

15.

一组八个整数的平均数、中位数、唯一众数和极差都等于 $8$ 。这组数中可能出现的最大整数是多少？

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

知识点：平均数极差极端原理

难度评级：1660

小提示：

八个整数的和为 $8\cdot 8 = 64$ ，且众数 $8$ 必须重复出现。

The eight integers sum to $8\cdot 8 = 64,$ and the mode $8$ must repeat

大提示：

测试最大值 $15$ ；此时最小值应为 $7$ ，再检查剩余和。

Test the largest value $15;$ the smallest would then be $7,$ and check the remaining sum

解答：

集合 $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ 的平均数、中位数、唯一众数和极差都等于 $8$ ，所以 $14$ 可以达到。

假设最大值为 $15$ 。极差 $8$ 迫使最小值为 $7$ 。因为 $8$ 是众数，它在排好序的八个数中重复出现；再结合中位数 $8$ ，中间两个数只能是 $8, 8$ 。于是 $7 + 8 + 8 + 15 = 38$ ，剩下四个数的和为 $64 - 38 = 26$ ，平均为 $6.5$ 。这样至少有一个数会小于 $7$ ，与最小值矛盾。因此 $15$ 不可能。

因此，正确答案是 D。

The collection $6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

Suppose the largest were $15.$ The range $8$ forces the smallest to be $7.$ Because $8$ is the mode, it occurs in the sorted list; together with median $8,$ this forces the two middle values to be $8, 8.$ Then $7 + 8 + 8 + 15 = 38,$ so the remaining four values sum to $64 - 38 = 26,$ averaging $6.5.$ At least one would be below $7,$ contradicting the minimum. So $15$ is impossible.

Thus, the correct answer is D.

16.

Tina 从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 中随机选择两个不同的数，Sergio 从集合 $\{1, 2, \ldots, 10\}$ 中随机选择一个数。Sergio 选的数大于 Tina 所选两个数之和的概率是多少？

Tina randomly selects two distinct numbers from the set $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ and Sergio randomly selects a number from the set $\{1, 2, \ldots, 10\}.$ The probability that Sergio’s number is larger than the sum of the two numbers chosen by Tina is

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{20}$

$\dfrac{24}{25}$

知识点：基本概率分类讨论

难度评级：1630

小提示：

Tina 有 $\binom{5}{2} = 10$ 个等可能的数对。

Tina has $\binom{5}{2} = 10$ equally likely pairs

大提示：

若某数对的和为 $s$ ，Sergio 的数大于它的概率为 $\dfrac{10 - s}{10}$ 。

For a pair with sum $s,$ Sergio exceeds it with probability $\dfrac{10 - s}{10}$

解答：

Tina 的十个数对的和为 $3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9$ 。对于和 $s$ ，Sergio 的数大于它的概率为 $\dfrac{10 - s}{10}$ 。

相应的 $10 - s$ 值为 $7, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 1$ ，总和为 $40$ 。总概率为 $\dfrac{40}{10\cdot 10} = \dfrac{2}{5}$ 。

因此，正确答案是 A。

Tina’s ten pairs have sums $3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9.$ For a sum $s,$ Sergio’s number exceeds it with probability $\dfrac{10 - s}{10}.$

The corresponding values of $10 - s$ are $7, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 1,$ totaling $40.$ The overall probability is $\dfrac{40}{10\cdot 10} = \dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

17.

有若干组质数，例如 $\{7, 83, 421, 659\}$ ，恰好各使用九个非零数字一次。这样的质数组的和最小可能是多少？

Several sets of prime numbers, such as $\{7, 83, 421, 659\},$ use each of the nine nonzero digits exactly once. What is the smallest possible sum such a set of primes could have?

$193$

$207$

$225$

$252$

$477$

知识点：质数数字最优化

难度评级：1800

小提示：

数字 $4, 6, 8$ 不能作为多位质数的个位，所以每个都必须是十位数字。

The digits $4, 6, 8$ cannot end a prime past one digit, so each must be a tens digit

大提示：

这三个数字至少贡献 $40 + 60 + 80$ ，剩下六个数字至少按个位贡献它们本身的和；再检查是否存在可行例子。

Those three contribute at least $40 + 60 + 80,$ and the remaining six digits at least their own sum as units digits; then check a valid set exists

解答：

偶数字 $4, 6, 8$ 不能作为多位质数的个位，所以每个都必须出现在十位或更高位，至少贡献 $40 + 60 + 80 = 180$ 。另外六个数字至少贡献 $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27$ ，因此总和至少为 $207$ 。

这个下界可以达到，例如 $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\}$ ，它们的和为 $207$ 。

因此，正确答案是 B。

The even digits $4, 6, 8$ cannot be the units digit of a multi-digit prime, so each must appear in a tens place or higher, contributing at least $40 + 60 + 80 = 180.$ The other six digits contribute at least $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 9 = 27,$ so the sum is at least $207.$

This bound is achieved, for example by $\{2, 3, 5, 41, 67, 89\},$ whose sum is $207.$

Thus, the correct answer is B.

18.

设圆 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ 和 $(x + 15)^2 + y^2 = 81\text{。}$ 线段 $\overline{PQ}$ 在 $P$ 点与 $C_1$ 相切，并在 $Q$ 点与 $C_2$ 相切。这样的最短线段长多少？

Let $C_1$ and $C_2$ be circles defined by $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ and $(x + 15)^2 + y^2 = 81,$ respectively. What is the length of the shortest line segment $\overline{PQ}$ that is tangent to $C_1$ at $P$ and to $C_2$ at $Q?$

$15$

$18$

$20$

$21$

$24$

知识点：切线相似勾股定理

难度评级：1660

小提示：

最短的这种线段是内公切线；它会在两个圆心之间与 $\overline{AB}$ 相交。

The shortest such segment is the internal tangent; it crosses $\overline{AB}$ between the centers

大提示：

交点按半径之比 $6 : 9$ 分割 $\overline{AB}$ ；再利用相似直角三角形。

The crossing point divides $\overline{AB}$ in the ratio of the radii $6 : 9;$ use similar right triangles

解答：

圆心为 $A = (10, 0)$ 和 $B = (-15, 0)$ ，半径分别为 $6$ 和 $9$ ，所以 $AB = 25$ 。最短切线是内公切线，它在点 $D$ 与 $\overline{AB}$ 相交，并按 $6 : 9$ 分割该线段，因此 $D = (0, 0)$ 。

直角三角形 $APD$ 和 $BQD$ 相似，比例为 $2 : 3$ 。因而 $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ ， $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ ，所以 $PQ = 8 + 12 = 20$ 。

因此，正确答案是 C。

The centers are $A = (10, 0)$ and $B = (-15, 0),$ with radii $6$ and $9,$ so $AB = 25.$ The shortest tangent is the internal one, meeting $\overline{AB}$ at a point $D$ that splits it in the ratio $6 : 9,$ giving $D = (0, 0).$

The right triangles $APD$ and $BQD$ are similar with ratio $2 : 3.$ Then $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ and $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,$ so $PQ = 8 + 12 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

19.

函数 $f$ 的图像如下。方程 $f(f(x)) = 6$ 有多少个解？

The graph of the function $f$ is shown below. How many solutions does the equation $f(f(x)) = 6$ have?

$2$

$4$

$5$

$6$

$7$

知识点：函数数据与图表解读

难度评级：1660

小提示：

$f(f(x)) = 6$ 意味着 $f(x)$ 必须是一个使 $f$ 等于 $6$ 的输入值。

$f(f(x)) = 6$ means $f(x)$ must be an input where $f$ equals $6$

大提示：

从图像看， $f(t) = 6$ 在 $t = -2$ 和 $t = 1$ ；计算 $f(x) = -2$ 与 $f(x) = 1$ 的解数。

From the graph $f(t) = 6$ at $t = -2$ and $t = 1;$ count solutions of $f(x) = -2$ and $f(x) = 1$

解答：

图像在 $x = -2$ 和 $x = 1$ 处达到 $6$ ，所以 $f(f(x)) = 6$ 要求 $f(x) = -2$ 或 $f(x) = 1$ 。

水平线 $y = -2$ 与图像相交两次， $y = 1$ 与图像相交四次，共有 $2 + 4 = 6$ 个解。

因此，正确答案是 D。

The graph reaches $6$ at $x = -2$ and $x = 1,$ so $f(f(x)) = 6$ requires $f(x) = -2$ or $f(x) = 1.$

The horizontal line $y = -2$ meets the graph twice, and $y = 1$ meets it four times, giving $2 + 4 = 6$ solutions.

Thus, the correct answer is D.

20.

设 $a$ 和 $b$ 是数字，不同时为九也不同时为零，循环小数 $0.\overline{ab}$ 被化为最简分数。可能出现多少个不同的分母？

Suppose that $a$ and $b$ are digits, not both nine and not both zero, and the repeating decimal $0.\overline{ab}$ is expressed as a fraction in lowest terms. How many different denominators are possible?

$3$

$4$

$5$

$8$

$9$

知识点：循环小数因数

难度评级：1630

小提示：

$0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$ ，其中 $\overline{ab}$ 表示这个两位数。

$0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$ where $\overline{ab}$ is the two-digit value

大提示：

最简形式的分母是 $99 = 3^2\cdot 11$ 的因数；排除 $1$ ，因为 $a, b$ 不同时为 $9$ 。

In lowest terms the denominator is a divisor of $99 = 3^2\cdot 11;$ exclude $1$ since $a, b$ are not both $9$

解答：

因为 $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$ ，最简分母必须整除 $99 = 3^2\cdot 11$ 。它的因数为 $1, 3, 9, 11, 33, 99$ 。

分母为 $1$ 会要求 $\overline{ab} = 99$ ，即 $a = b = 9$ ，但这种情况被排除。其余各个分母都能达到：分子 $33, 11, 9, 3$ 和 $1$ 分别约分后得到分母 $3, 9, 11, 33$ 和 $99$ ，所以共有 $5$ 种可能的分母。

所以正确答案是 C。

Since $0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},$ the reduced denominator divides $99 = 3^2\cdot 11.$ The divisors are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

The denominator $1$ would require $\overline{ab} = 99,$ i.e. $a = b = 9,$ which is excluded. Each is achievable: numerators $33, 11, 9, 3,$ and $1$ reduce to denominators $3, 9, 11, 33,$ and $99,$ respectively. Thus there are $5$ possible denominators.

Thus, the correct answer is C.

21.

考虑数列 $4$ ， $7$ ， $1$ ， $8$ ， $9$ ， $7$ ， $6$ ， $\ldots$ 。对 $n \gt 2$ ，第 $n$ 项是前两项之和的个位数字。令 $S_n$ 表示该数列前 $n$ 项的和。使 $S_n \gt 10{,}000$ 的最小 $n$ 是

Consider the sequence of numbers $4,$ $7,$ $1,$ $8,$ $9,$ $7,$ $6,$ $\ldots$ For $n \gt 2,$ the $n$ th term of the sequence is the units digit of the sum of the two previous terms. Let $S_n$ denote the sum of the first $n$ terms of this sequence. The smallest value of $n$ for which $S_n \gt 10{,}000$ is

$1992$

$1999$

$2001$

$2002$

$2004$

知识点：个位数字求和找规律

难度评级：1840

小提示：

继续写出各项，直到模式重复。

Write out terms until the pattern repeats

大提示：

前 $12$ 项和为 $60$ ，之后循环重复；求多少个完整循环仍不超过 $10{,}000$ 。

The first $12$ terms sum to $60$ and then repeat; find how many full blocks stay under $10{,}000$

解答：

继续写数列得到 $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ ， $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots$ ，它以 $12$ 为周期重复。每个 $12$ 项循环的和为 $60$ 。

满足 $60k \le 10{,}000$ 的最大 $k$ 是 $k = 166$ ，因此 $S_{12\cdot 166} = 9960$ 。再加上下一轮的 $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ ，增加 $42$ ，总和超过 $10{,}000$ 。所以 $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999$ 。

因此，正确答案是 B。

Continuing the sequence gives $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,$ $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,$ which repeats with period $12.$ Each block of $12$ terms sums to $60.$

The largest $k$ with $60k \le 10{,}000$ is $k = 166,$ giving $S_{12\cdot 166} = 9960.$ Adding the next terms $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ contributes $42,$ pushing the total past $10{,}000.$ So $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.$

Thus, the correct answer is B.

22.

三角形 $ABC$ 是直角三角形， $\angle ACB$ 为直角， $m\angle ABC = 60^\circ$ ，且 $AB = 10$ 。在 $\triangle ABC$ 内随机选一点 $P$ ，再将 $\overline{BP}$ 延长交 $\overline{AC}$ 于 $D$ 。求 $BD \gt 5\sqrt{2}$ 的概率。

Triangle $ABC$ is a right triangle with $\angle ACB$ as its right angle, $m\angle ABC = 60^\circ,$ and $AB = 10.$ Let $P$ be randomly chosen inside $\triangle ABC,$ and extend $\overline{BP}$ to meet $\overline{AC}$ at $D.$ What is the probability that $BD \gt 5\sqrt{2}?$

$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}$

知识点：几何概率面积比特殊直角三角形

难度评级：1990

小提示：

$\triangle ABC$ 是 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，其中 $BC = 5$ ， $AC = 5\sqrt{3}$ 。

$\triangle ABC$ is $30$ - $60$ - $90$ with $BC = 5$ and $AC = 5\sqrt{3}$

大提示：

在 $\overline{AC}$ 上取点 $E$ ，使 $CE = 5$ ，则 $BE = 5\sqrt{2}$ ；此时 $BD \gt 5\sqrt{2}$ 当且仅当 $P$ 落在 $\triangle ABE$ 内。

Choose $E$ on $\overline{AC}$ with $CE = 5,$ so $BE = 5\sqrt{2};$ then $BD \gt 5\sqrt{2}$ iff $P$ lies inside $\triangle ABE$

解答：

因为 $AB = 10$ 且 $\angle ABC = 60^\circ$ ，这个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形满足 $BC = 5$ ， $AC = 5\sqrt3$ 。

在 $\overline{AC}$ 上取点 $E$ ，使 $CE = 5$ ，则 $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2$ 。当 $D$ 沿 $\overline{AC}$ 移动时， $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ 。它超过 $5\sqrt2$ 正好等价于 $CD \gt 5$ ，也就是 $D$ 位于 $E$ 的外侧；这又当且仅当 $P$ 在 $\triangle ABE$ 内。

所求概率为 $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Since $AB = 10$ and $\angle ABC = 60^\circ,$ the $30$ - $60$ - $90$ triangle has $BC = 5$ and $AC = 5\sqrt3.$

Place $E$ on $\overline{AC}$ with $CE = 5;$ then $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.$ As $D$ moves along $\overline{AC},$ $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ exceeds $5\sqrt2$ exactly when $CD \gt 5,$ i.e. when $D$ lies beyond $E,$ which happens iff $P$ is inside $\triangle ABE.$

The probability is $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

23.

在三角形 $ABC$ 中，边 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BC}$ 的垂直平分线交于点 $D$ ，且 $\overline{BD}$ 平分 $\angle ABC$ 。若 $AD = 9$ ， $DC = 7$ ，求三角形 $ABD$ 的面积。

In triangle $ABC,$ side $\overline{AC}$ and the perpendicular bisector of $\overline{BC}$ meet in point $D,$ and $\overline{BD}$ bisects $\angle ABC.$ If $AD = 9$ and $DC = 7,$ what is the area of triangle $ABD?$

$14$

$21$

$28$

$14\sqrt{5}$

$28\sqrt{5}$

知识点：角平分线定理垂直平分线余弦定理海伦公式

难度评级：2110

小提示：

$D$ 在 $\overline{BC}$ 的垂直平分线上，所以 $DB = DC = 7$ 。

$D$ is on the perpendicular bisector of $\overline{BC},$ so $DB = DC = 7$

大提示：

角平分线给出 $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}$ ；再用 $\triangle BDC$ 读出 $\cos\theta$ ，并应用余弦定理。

The angle bisector gives $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7};$ apply the Law of Cosines with $\cos\theta$ read from $\triangle BDC$

解答：

因为 $D$ 在 $\overline{BC}$ 的垂直平分线上，所以 $DB = DC = 7$ 。角平分线 $\overline{BD}$ 给出 $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}$ ，设 $AB = 9x$ ， $BC = 7x$ 。

令 $\theta = \angle ABD = \angle DBC$ 。在等腰三角形 $\triangle BDC$ 中，垂足是 $\overline{BC}$ 的中点 $M$ ，所以 $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}$ 。

在 $\triangle ABD$ 中应用余弦定理： $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2}\text{，}$ 化简得 $81 = 18x^2 + 49$ ，所以 $x = \dfrac43$ ， $AB = 12$ 。

现在 $\triangle ABD$ 的三边为 $9, 7, 12$ 。由海伦公式，半周长 $s = 14$ ，面积为 $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5$ 。

因此，正确答案是 D。

Since $D$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{BC},$ $DB = DC = 7.$ The angle bisector $\overline{BD}$ gives $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7},$ so write $AB = 9x$ and $BC = 7x.$

Let $\theta = \angle ABD = \angle DBC.$ In isosceles $\triangle BDC,$ the foot of the perpendicular is the midpoint $M$ of $\overline{BC},$ so $\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}.$

Applying the Law of Cosines in $\triangle ABD:$ $9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2},$ which simplifies to $81 = 18x^2 + 49,$ so $x = \dfrac43$ and $AB = 12.$

Now $\triangle ABD$ has sides $9, 7, 12.$ By Heron’s formula with $s = 14,$ the area is $\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.$

Thus, the correct answer is D.

24.

求有多少个有序实数对 $(a, b)$ 满足 $(a + bi)^{2002} = a - bi$ 。

Find the number of ordered pairs of real numbers $(a, b)$ such that $(a + bi)^{2002} = a - bi.$

$1001$

$1002$

$2001$

$2002$

$2004$

知识点：复数单位根

难度评级：2170

小提示：

设 $z = a + bi$ ，则方程为 $z^{2002} = \overline{z}$ ；取模长。

Write $z = a + bi,$ so the equation is $z^{2002} = \overline{z};$ take magnitudes

大提示：

$|z|^{2002} = |z|$ 迫使 $|z| = 0$ 或 $|z| = 1$ ；当 $|z| = 1$ 有 $\overline{z} = \dfrac1z$ 。

$|z|^{2002} = |z|$ forces $|z| = 0$ or $|z| = 1;$ when $|z| = 1,$ $\overline{z} = \dfrac1z$

解答：

设 $z = a + bi$ 。方程为 $z^{2002} = \overline{z}$ 。取模长，得 $|z|^{2002} = |z|$ ，所以 $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0$ ，因此 $|z| = 0$ 或 $|z| = 1$ 。

若 $|z| = 0$ ，则 $(a, b) = (0, 0)$ ，得到一个解。若 $|z| = 1$ ，则 $\overline{z} = \dfrac1z$ ，所以 $z^{2002} = \dfrac1z$ ，即 $z^{2003} = 1$ ，它有 $2003$ 个不同的根。

总共有 $1 + 2003 = 2004$ 个有序对。

因此，正确答案是 E。

Let $z = a + bi.$ The equation is $z^{2002} = \overline{z}.$ Taking magnitudes, $|z|^{2002} = |z|,$ so $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,$ giving $|z| = 0$ or $|z| = 1.$

If $|z| = 0,$ then $(a, b) = (0, 0),$ one solution. If $|z| = 1,$ then $\overline{z} = \dfrac1z,$ so $z^{2002} = \dfrac1z,$ i.e. $z^{2003} = 1,$ which has $2003$ distinct roots.

Altogether there are $1 + 2003 = 2004$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

25.

将实系数多项式 $P$ 的所有非零系数都替换成这些系数的平均数，得到多项式 $Q$ 。下列哪一幅可能是在区间 $-4 \le x \le 4$ 上 $y = P(x)$ 和 $y = Q(x)$ 的图像？

The nonzero coefficients of a polynomial $P$ with real coefficients are all replaced by their mean to form a polynomial $Q.$ Which of the following could be a graph of $y = P(x)$ and $y = Q(x)$ over the interval $-4 \le x \le 4?$

知识点：多项式数据与图表解读

难度评级：2270

小提示：

$P$ 的系数和等于 $Q$ 的系数和。

The sum of the coefficients of $P$ equals the sum of the coefficients of $Q$

大提示：

代入 $x = 1$ 得 $P(1) = Q(1)$ ，所以两条图像必须在 $x = 1$ 处相交。

Evaluating at $x = 1$ gives $P(1) = Q(1),$ so the two graphs must intersect at $x = 1$

解答：

将非零系数替换为它们的平均数，会保持系数总和不变，所以 $P$ 和 $Q$ 的系数和相同。由于 $P(1)$ 和 $Q(1)$ 都等于各自的系数和， $P(1) = Q(1)$ 。

因此 $y = P(x)$ 和 $y = Q(x)$ 的图像必须在 $x = 1$ 处相交。唯一显示在 $x = 1$ 处相交的是图 B。（其中 $P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4$ ， $Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2$ 。）

因此，正确答案是 B。

Replacing the nonzero coefficients by their mean keeps the total of the coefficients unchanged, so $P$ and $Q$ have the same coefficient sum. Since $P(1)$ and $Q(1)$ each equal that sum, $P(1) = Q(1).$

Therefore the graphs of $y = P(x)$ and $y = Q(x)$ must cross at $x = 1.$ The only choice showing an intersection at $x = 1$ is graph B. (There, $P(x) = 2x^4 - 3x^2 - 3x - 4$ and $Q(x) = -2x^4 - 2x^2 - 2x - 2.$ )

Thus, the correct answer is B.