Question

函数图像 $y=x^6-10x^5$ $+29x^4-4x^3+ax^2$ 除了在三个 $x$ 值处与直线 $y=bx+c$ 相交外，其余都在该直线上方。这三个值中最大的是多少？

The graph of $y=x^6-10x^5$ $+29x^4-4x^3+ax^2$ lies above the line $y=bx+c$ except at three values of $x,$ where the graph and the line intersect. What is the largest of those values?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：A

知识点：多项式因式分解配方法

难度评级：2000

小提示：

图像减去直线得到一个非负多项式，并有三个二重根，所以它等于 $\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2$ 。

The graph minus the line is nonnegative with three double roots, so it equals $\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2$

大提示：

比较 $x^5,x^4,x^3$ 的系数来确定三次多项式，再分解它。

Match the coefficients of $x^5,x^4,x^3$ to determine the cubic, then factor it

解答：

设 $f(x)$ 为该图像减去直线所得的函数。它非负，并在三个点处为零，每个零点都是二重根，所以 $f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2\text{。}$

比较系数可得 $-2A=-10\Rightarrow A=5$ ，接着 $A^2+2B=29\Rightarrow B=2$ ，再由 $-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8$ 。

因此三次式为 $x^3-5x^2+2x+8$ $=(x+1)(x-2)(x-4)$ ，根为 $-1,2$ 和 $4$ 。最大值为 $4$ 。

所以正确答案是 A。

Let $f(x)$ be the graph minus the line. It is nonnegative and vanishes at three points, each a double root, so $f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.$

Matching coefficients gives $-2A=-10\Rightarrow A=5,$ then $A^2+2B=29\Rightarrow B=2,$ then $-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.$

Thus the cubic is $x^3-5x^2+2x+8$ $=(x+1)(x-2)(x-4),$ with roots $-1,2,$ and $4.$ The largest is $4.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题