Question

下式的最小值是多少： $\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1| \end{gathered}\text{？}$

What is the minimum value of $\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}$

$49$

$50$

$51$

$52$

$53$

答案：A

知识点：绝对值最优化求和

难度评级：2000

小提示：

$f$ 是分段线性函数，拐点在 $x=\tfrac1k$ ；最小值出现在斜率由负变正的位置。

$f$ is piecewise linear with corners at $x=\tfrac1k;$ the minimum is where its slope turns from negative to positive

大提示：

在 $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ 上，斜率为 $7140-(m-1)m$ ；找出它为零的位置。

On $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ the slope is $7140-(m-1)m;$ find where it vanishes

解答：

函数 $f$ 是分段线性的，断点在 $x=\tfrac1k$ 。在区间 $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ 上，它的斜率为 $\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m\text{，} \end{aligned}$ 其中 $7140=\tfrac{119\cdot120}{2}$ 。

当 $(m-1)m=7140$ 时斜率为零，即 $m=85$ ，所以最小值出现在右端点 $x=\tfrac1{84}$ 。

在那里， $k\le84$ 的项贡献 $\tfrac{84-k}{84}$ ， $k\ge85$ 的项贡献 $\tfrac{k-84}{84}$ ，所以 $\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49\text{。} \end{aligned}$

所以正确答案是 A。

The function $f$ is piecewise linear with breakpoints at $x=\tfrac1k.$ On the interval $\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]$ its slope is $\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}$ where $7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.$

This slope is zero when $(m-1)m=7140,$ i.e. $m=85,$ so the minimum occurs at the right endpoint $x=\tfrac1{84}.$

There, terms with $k\le84$ contribute $\tfrac{84-k}{84}$ and terms with $k\ge85$ contribute $\tfrac{k-84}{84},$ so $\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 22 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题