Question

设 $f$ 是定义在正整数上的唯一函数，满足对所有正整数 $n$ 都有 $\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1$ 其中求和遍历 $n$ 的所有正因数。求 $f(2023)$ ？

Let $f$ be the unique function defined on the positive integers such that $\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1$ for all positive integers $n,$ where the sum is taken over all positive divisors of $n.$ What is $f(2023)?$

$-1536$

$96$

$108$

$116$

$144$

答案：B

知识点：质因数分解递推

难度评级：2270

小提示：

这个关系递归地确定 $f$ ； $f$ 实际上是积性函数

The relation determines $f$ recursively; $f$ turns out to be multiplicative

大提示：

计算 $f(1)=1$ 、 $f(p)=1-p$ 和 $f(p^2)=1-p$ ；这里 $2023=7\cdot 17^2$

Compute $f(1)=1,$ $f(p)=1-p,$ and $f(p^2)=1-p;$ here $2023=7\cdot 17^2$

解答：

令 $n=1$ ，得 $f(1)=1$ 。对素数 $p$ ，令 $n=p$ ，得 $f(p)+p\cdot f(1)=1$ ，所以 $f(p)=1-p$ 。令 $n=p^2$ ，由 $f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1$ 得 $f(p^2)=1-p$ 。

由于定义关系是积性函数的 Dirichlet 卷积， $f$ 也是积性的。又 $2023=7\cdot 17^2$ ， $\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Setting $n=1$ gives $f(1)=1.$ For a prime $p,$ $n=p$ gives $f(p)+p\cdot f(1)=1,$ so $f(p)=1-p.$ For $n=p^2,$ $f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1$ gives $f(p^2)=1-p.$

Since the defining relation is a Dirichlet convolution of multiplicative functions, $f$ is multiplicative. With $2023=7\cdot 17^2,$ $\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题