Question

在一条宽为 $w$ 的狭窄小巷中，有一架长为 $a$ 的梯子，其底端位于两墙之间的点 $P$ 。梯子靠在一面墙的点 $Q$ 时，该点离地高度为 $k$ ，梯子与地面成 $45^\circ$ 角。梯子靠在另一面墙的点 $R$ 时，该点离地高度为 $h$ ，梯子与地面成 $75^\circ$ 角。巷宽 $w$ 等于

In a narrow alley of width $w$ a ladder of length $a$ is placed with its foot at a point $P$ between the walls. Resting against one wall at $Q,$ a distance $k$ above the ground, the ladder makes a $45^\circ$ angle with the ground. Resting against the other wall at $R,$ a distance $h$ above the ground, the ladder makes a $75^\circ$ angle with the ground. The width $w$ is equal to

$a$

$RQ$

$k$

$\frac{h+k}{2}$

$h$

答案：E

知识点：三角学直角三角形三角恒等式

难度评级：1910

小提示：

用余弦表示小巷的两段水平距离

Express the two horizontal portions of the alley using cosines

大提示：

比较 $\cos75^\circ+\cos45^\circ$ 与 $\sin75^\circ$

Compare $\cos75^\circ+\cos45^\circ$ with $\sin75^\circ$

解答：

点 $P$ 到两面墙的水平距离分别为 $a\cos75^\circ$ 和 $a\cos45^\circ$ ，所以 $w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ)$ 。由和差化积公式， $\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ$ 。又因为 $h=a\sin75^\circ$ ，所以 $w=h$ 。

因此，正确答案为 E。

The horizontal distances from $P$ to the walls are $a\cos75^\circ$ and $a\cos45^\circ,$ so $w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).$ The sum-to-product identity gives $\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.$ Since $h=a\sin75^\circ,$ $w=h.$

Therefore, the correct answer is E.

1982 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题